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Encontrar la representación matricial de un mapeo lineal

Dejemos que $V=\left \{ A\in M_2\left(\mathbb{C} \right )\mid \text{tr}(A)=0 \right \}$ y $T:V\rightarrow V$ definido por $T\left(A\right)=\left(3\,\mathrm{i}-2\right)A+\left(4-6\,\mathrm{i}\right)A^t$ Encuentre la representación matricial de $T$ con respecto a la base $B=\left\{\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0&1\\0&0\end{matrix}\right),\left(\begin{matrix}0&0\\1&0\end{matrix}\right)\right\}$

Lo que he hecho es enchufar los vectores base (en este caso matrices) a la transformación:

$$T(\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}3i-2&0\\0&2-3i\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4-6i&0\\0&-4+6i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-3i&0\\0&-2+3i\end{pmatrix}$$

$$T(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0&3i-2\\0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\4-6i&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3i-2\\4-6i&0\end{pmatrix}$$

$$T(\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0&0\\3i-2&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&4-6i\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4-6i\\3i-2&0\end{pmatrix}$$

¿Entonces la matriz es la suma? $$\begin{pmatrix}2-3i&2-3i\\2-3i&3i-2\end{pmatrix}$$

¿O debo ponerlas como columnas vectoriales?

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DavidP Puntos 5634

No, la matriz es la matriz cuyas columnas son las imágenes. Tienes que encontrar las imágenes y reescribirlas como vectores de coordenadas con respecto a $B$ .

$$T(B_1) = (2-3i)B_1 + 0B_2 + 0B_3$$

$$T(B_2) = 0B_1 + (-2+3i)B_2 + (4-6i)B_3$$

$$T(B_3) = 0B_1 + (4-6i)B_2 + (-2+3i)B_3$$

Por lo tanto,

$$[T]_B = \begin{pmatrix} 2-3i & 0 & 0\\ 0 & -2+3i & 4-6i\\ 0 & 4-6i & -2+3i\end{pmatrix}$$

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