¿Podemos encontrar siempre un proceso estocástico cuya función de autocorrelación sea una función semidefinida positiva dada?

Question

La función de autocorrelación de un proceso estocástico se define por $$R(t_1, t_2)=\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)]$$

Decimos que una función es semidefinida positiva si y sólo si

$$\forall x,y: f(x,y)^2 \leq f(x,x)f(y,y)$$

Es fácil ver que si $X(t)$ es un proceso estocástico, entonces utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz tenemos

$$R(t_1, t_2)^2=\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)]^2 \leq \mathbb{E}[X(t_1)^2]\mathbb{E}[X(t_2)^2]=R(t_1, t_1)R(t_2, t_2)$$

Entonces, me pregunto si se da una función semidefinida positiva $f$ ¿es siempre posible encontrar un proceso estocástico cuya función de autocorrelación sea $f$ ?

Nota: Estoy buscando respuestas que no utilicen la teoría de la medida.

Answer 1

Obviamente no. Considere $R(x,y)=-1$ . Pero asumo que también querías exigir que $R(x,x)\ge 0$ . Sin embargo, ni siquiera esto es suficiente.

Para ver esto, elige 3 puntos de tiempo cualquiera $t_1, t_2, t_3$ y considerar las variables aleatorias $X_{t_1}, X_{t_2}, X_{t_3}$ . Definir la matriz $A_{ij}=E(X_{t_i}X_{t_j})=R(t_i, t_j)$ . Yo reclamo $A$ debe ser definida no negativa. En efecto, para cualquier vector $v$ , $(v,Av)=\sum_{i,j}v_iv_jA_{ij}=\sum_{i,j}v_iv_jE(X_{t_i}X_{t_j})=E\sum_{i,j}(v_iX_{t_i})(v_jX_{t_j})=E(\sum_i v_iX_{t_i})^2\ge 0$ . Por el mismo argumento, debe ser el caso que $\sum_{i,j=1}^Nv_iv_jR(t_i,t_j)\ge 0$ para cualquier $N$ , $v_i$ y puntos de tiempo $t_i$ . Una función que cumple esta condición se llama núcleo de Mercer.

Para ver que su condición de semidefinición positiva no implica ser un núcleo de Mercer, basta con exhibir una matriz simétrica M tal que 1. las entradas diagonales de M son positivas 2. todos los menores de 2x2 tienen determinante no negativo, y 3. M tiene un valor propio negativo. Dejo como ejercicio la construcción de tal matriz.

Curiosamente, si R es un núcleo de Mercer, la respuesta a tu pregunta es sí, y el proceso puede describirse de forma algo explícita. Asumiré que t está restringido a estar en el intervalo unitario $[0,1]$ . Por el teorema de Mercer, podemos escribir $R(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty} \lambda_i f_i(x)f_i(y)$ donde las funciones satisfacen $\int_0^1 R(x,y)f_i(y)=\lambda_if_i(x)$ .

Ahora dejemos que $X_t=\sum_{i=1}^{\infty} \sqrt{\lambda_i}\xi_if_i(t)$ donde $\xi_i$ son variables aleatorias normales iid con media $0$ y la desviación estándar $1$ . La serie converge casi con seguridad por el teorema de las dos SEries de Kolmogorov.

Vemos que $EX_tX_s=\sum_{i,j}\sqrt{\lambda_i\lambda_j}f_i(t)f_j(s)E(\xi_i\xi_j)$ . Por independencia, tenemos $E(\xi_i\xi_j)=E\xi_iE\xi_j=\delta_{ij}$ . Así que $EX_tX_s=\sum_i\lambda_if_i(t)f_i(s)=R(t,s)$ como se desee.