Área del triángulo ABC dentro del círculo

Question

Considera el siguiente diagrama:

$AB+AD=DE$, $\angle BAD= 60$, y $AE$ es $6$. ¿Cómo encontramos el área del triángulo $ABC$?

Answer 1

Desde la imagen anterior,

$x+y=z$, $y+z=6$ y $\frac x {y+z} = \cos 60^\circ = \frac 1 2

Después de hacer los cálculos, $x=3$, $y=\frac 3 2$ y $z = \frac 9 2

$\angle ABE = 90^\circ$ y $\angle BAD = 60^\circ

Entonces, $\angle AEB = 30^\circ = \angle ACB$ (propiedades de un círculo)

Ahora, $\cos 60^\circ = \frac {x^2 + y^2 - w^2}{2xy} = \frac 1 2

Después de calcular, $w=DB=\frac {3 \sqrt 3}{2

$$\cos \angle ADB=\frac{y^2+w^2-x^2}{2yw}=\frac{(\frac 3 2)^2+(\frac {3 \sqrt 3}{2})^2-3^2}{2 \frac 3 2\frac {3 \sqrt 3}{2}}=0$$

Por lo tanto, $\angle ADB = 90^\circ$ y $\angle ABD = 30^\circ = \angle ACB

Por lo tanto, el triángulo ABC es un triángulo isósceles

Y, $CD = BD = \frac {3 \sqrt 3}{2}

Entonces, $\triangle ABC = \frac 1 2 \cdot \frac 3 2 \cdot (\frac {3 \sqrt 3}{2} + \frac {3 \sqrt 3}{2}) = \frac {9 \sqrt 3}{4