Número de formas de elegir $4$ objetos fuera de $6$ grupos con $3$ miembros cada uno

Question

Supongamos que una caja contiene 18 bolas del 1 al 6, tres bolas con cada número. Cuando se extraen 4 bolas sin reemplazo, ¿cuántos resultados son posibles?

Tomé $6\choose4$ formas de elegir las bolas y luego quitó las posibilidades en las que se elegían 4 de la misma bola ya que esto es imposible (se puede hacer de 6 maneras)

Esto me da una respuesta final de; $${6\choose4} - 6$$

Mi pregunta es; ¿Es correcto este método/respuesta y también hay una forma general de resolver este tipo de problema?

Nota; Este problema es de un libro llamado 'An introduction to Combinatorics and Graph Theory' y creo que entra dentro del paraguas de los conjuntos múltiples y los límites superiores.

Answer 1

Dejemos que $x_k$ denotan el número de bolas numeradas $k$ que se seleccionan. Si cuatro de los $18$ se seleccionan las bolas, entonces $$x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 4 \tag{1}$$ donde $x_k \leq 3$ para $1 \leq k \leq 6$ . La ecuación 1 es una ecuación en los enteros no negativos. Una selección particular corresponde a la elección de dónde colocar cinco signos de adición en una fila de cuatro unos. Por ejemplo, $$1 + 1 + + 1 + + 1$$ corresponde a $x_1 = 1$ , $x_2 = 1$ , $x_3 = 0$ , $x_4 = 1$ , $x_5 = 0$ y $x_6 = 1$ . Por lo tanto, si no hubiera restricciones, el número de soluciones de la ecuación 1 sería el número de maneras en que se podrían insertar cinco signos de adición en una fila de cuatro unos, que es
$$\binom{4 + 5}{5} = \binom{9}{5}$$ ya que debemos elegir qué cinco de los nueve símbolos (cuatro unos y cinco signos de adición) serán signos de adición. Sin embargo, seis de estas soluciones violan la restricción de que $x_k \leq 3$ para $1 \leq k \leq 6$ , es decir, aquellos en los que $x_k = 4$ para algunos $k$ Satisfaciendo a $1 \leq k \leq 6$ . Por lo tanto, el número de formas de seleccionar cuatro bolas de $18$ bolas compuestas por tres bolas cada una numeradas del 1 al 6 es $$\binom{9}{5} - 6$$

Answer 2

$\binom{6}{4}-6$ cuenta formas de seleccionar cuatro colores menos formas de seleccionar un color.

Eso no está nada bien.

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Desea contar los distintos números y colores que se pueden seleccionar.

En cuanto a los números, puede seleccionar entre restringido particiones de 4. Específicamente: $(3:1), (2:2), (2:1:1), (1:1:1:1)$

Es decir, puede seleccionar: un triple y un sencillo, dos dobles, un doble y dos sencillos, o cuatro solteros.

Pero, ¿de cuántas maneras se pueden seleccionar los colores para cada una de estas alternativas?   (Hay un montón más de nueve)

Un alternativa El enfoque consiste en utilizar el método de las estrellas y las barras para contar las formas de colocar cuatro bolas idénticas en seis cubos de manera que no vayan más de tres al mismo cubo.

$$\mathop{\underline{\binom{6}{1,1,4}}}_\textrm{#triple-&-single}+\mathop{\underline{binom{6}{2,4}}}_\textrm{#two-doubles}+\mathop{\underline{\binom{6}{1,2,3}}}}_\textrm{#double-&-two-singles}+\mathop{\underline{\binom{6}{4,2}}}_\textrm{#four-singles} = \underline{\binom{4+6-1}{6-1}-6}$$