¿Esta serie es divergente?

Question

Es $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n} - \left \lfloor {\sqrt {n}} \right \rfloor} {n} $$ ¿diferente? He intentado tanto la prueba de la proporción como la prueba de la raíz, pero son definitivamente demasiado débiles para abordar este problema, no puedo usar la prueba integral para esto. He descubierto que se puede expresar esta serie como $$\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{i=1}^{2k} \left( \frac{1}{\sqrt{k^2+i}} - \frac{k}{k^2+i}\right) $$

Answer 1

Esta es una respuesta corta e intuitiva, tenga en cuenta que la parte fraccionaria de $\sqrt(n)$ están equidistribuidos $\mod 1$ . Tenga en cuenta que para cada $n$ de tal manera que la parte integral de $sqrt(n)$ es $k$ Hay alrededor de $k/2 +o(1)$ números correspondientes cuya raíz cuadrada tiene parte integral $k$ y la parte fraccionaria sobre $1/2$ Por lo tanto, se puede convertir la suma en la mitad de la serie armónica, que diverge.

Answer 2

Tenemos que

$$\sum_{n=1}^{N^2} \frac{\sqrt{n} - \left \lfloor {\sqrt {n}} \right \rfloor} {n}=\sum_{k=1}^{N}\sum_{n=(k-1)^2+1}^{k^2} \frac{\sqrt{n} - \left \lfloor {\sqrt {n}} \right \rfloor} {n}=\sum_{k=2}^{N}\left(-\frac1{k^2}+\sum_{n=(k-1)^2+1}^{k^2} \frac{\sqrt{n} -k+1} {n}\right)$$

y

$$\sum_{k=2}^{N}\left(\sum_{n=(k-1)^2+1}^{k^2} \frac{\sqrt{n} -k+1} {n}\right)\ge \sum_{k=2}^{N}\left( \frac{2k-1} {k^2}\right)$$

que diverge.