¿Existe una forma inequívoca de definir la media (y los momentos superiores) de una densidad de probabilidad en un círculo?

Question

Supongamos que Bob tiene un 50% de posibilidades de situarse en cada uno de los dos puntos $p_1, p_2$ en un círculo unitario. Si se intenta responder ingenuamente a la pregunta "¿cuál es la posición media de Bob en el círculo?", aparece una ambigüedad: la respuesta puede ser tanto el punto medio a lo largo del arco más corto entre $p_{1,2}$ o a lo largo de la más larga.

De forma más general, cualquier distribución de probabilidad para una posición en el círculo parecerá tener una media ambigua. Esto parecerá llevar también a la ambigüedad en la definición de la varianza y los momentos superiores.

La pregunta es: ¿existe una forma sistemática de tratar o eliminar esta ambigüedad? (Nota: no me interesan las respuestas que suponen que el círculo está incrustado en un espacio de mayor dimensión, como un plano, y dan como respuesta un punto fuera de él. Quiero un punto en el propio círculo).

Answer 1

Depende de lo que se entienda por "sistemático". Puedes colocar arbitrariamente un corte en algún lugar y parametrizar el círculo usando ángulos $\phi\in[0,2\pi]$ . Los momentos de estos ángulos son inequívocos, pero también arbitrarios. No puede haber una forma no arbitraria de hacerlo debido a la simetría del círculo. Si se tienen dos puntos opuestos, o más generalmente $n$ puntos en ángulos $2\pi/n$ no hay ninguna razón para elegir un punto en particular como la media.

Si tiene una estructura adicional en el círculo, es decir, el círculo es $U(1)$ o $\{z\in\mathbb C\mid \lvert z\rvert=1\}$ Entonces puedes usar eso para una definición menos arbitraria de los ángulos medidos desde la identidad, pero dudo que el resultado sea particularmente útil.

Answer 2

Si desea tener una "posición media" específica e inequívoca para cualquier distribución, entonces, en particular, espera tenerla para la distribución uniforme. Esto implica que, sea cual sea su definición, debe dar preferencia a algún punto del círculo.

Concediendo esto, se puede parametrizar el círculo por el ángulo $\theta$ con respecto a un radio fijo. Con ello, la media y todos los demás momentos se definen inequívocamente como $\int \theta^k dp(\theta)$ . Por supuesto, esta definición rompe la simetría del círculo, pero, como hemos visto, esto es inevitable.