¿Qué quiere decir la pregunta con "encontrar todos los valores posibles" de $\int_{\gamma}\frac{1}{z}$

Question

Estoy trabajando en algunos exámenes pasados y quería ver si estoy pensando en lo siguiente de manera correcta;

Dada una integral de contorno $\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz$ Quiero encontrar todos los valores posibles dado que $\gamma$ es el semicírculo que comienza en $1$ y que va a $-1$

Mi pensamiento es que como el radio del semicírculo es $1$ entonces $|z|=1$ y así $z=e^{i\theta}$ .

También podemos parametrizar $\gamma$ como $e^{i\theta}, \theta \in [-\pi,\pi]$

Esto significa que podemos expresar nuestra integral como;

$\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz=\int_{\pi}^{-\pi}e^{-i\theta}ie^{i\theta}d\theta=\int_{\pi}^{-\pi}id\theta=0$

Entonces, ¿qué quiere decir la pregunta con encontrar todos los valores de $\int_{\gamma}\frac{1}{z}$ ?

Me parece que sólo hay una

Answer 1

Dada una integral de contorno $\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz$ donde $\gamma$ es el semicírculo que va desde $1$ a $-1$ entonces hay dos arcos sobre los que podemos integrar.

Está el semicírculo inferior, donde pasamos de $1$ a $-1$ en el sentido de las agujas del reloj, y también el semicírculo superior , donde pasamos de $1$ a $-1$ en sentido contrario a las agujas del reloj .

Teniendo esto en cuenta, hay dos semicírculos que podemos elegir;

1) moviéndose en el sentido de las agujas del reloj, en cuyo caso $\gamma$ puede parametrizarse como $e^{-i\theta}, \theta \in[0,\pi]$

Así que aquí tenemos $\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz=\int_{0}^{\pi}\frac{-ie^{-i\theta }d\theta}{e^{-i\theta}}$ , ya que z= $e^{-i\theta}$ cuando se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj

$\int_{0}^{\pi}\frac{-ie^{-i\theta }d\theta}{e^{-i\theta}}=-i\int_{0}^{\pi}d\theta=-i[\theta]^{\pi}_{0}=-i\pi$

2) moviéndose en sentido contrario a las agujas del reloj, en cuyo caso podemos parametrizar $\gamma$ como $e^{i\theta}, \theta \in [0,\pi]$

Así que para esto tenemos $\int_{\gamma}\frac{1}{z}dz=\int_{0}^{\pi}\frac{ie^{i\theta }d\theta}{e^{i\theta}}$ , ya que z= $e^{i\theta}$

$\int_{0}^{\pi}\frac{ie^{i\theta }d\theta}{e^{i\theta}}=i\int_{0}^{\pi}d\theta=i[\theta]^{\pi}_0=\pi i$