Función logarítmica en el anillo de Robba $\mathcal{R}_L$ y algunas propiedades de $\mathcal{R}_L$

Question

Estoy leyendo algunos documentos de Colmez sobre $(\varphi,\Gamma)$ -módulos sobre el anillo de Robba $\mathcal{R}_L$ , donde $L$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}_p$ . Ahora me gustaría entender mejor este anillo.

En algunas pruebas utiliza el logaritmo de un elemento de $\mathcal{R}_L$ . Todavía no he podido encontrar una fuente donde se dé una definición del logaritmo en este anillo. Mi opinión es que se define con la serie de potencias habitual. Mi primera pregunta es si esta es la forma correcta de hacerlo. Además sobre qué elementos se define este logaritmo y cómo cambia el anillo de convergencia de una serie.

La segunda pregunta es más general sobre el anillo de Robba. Si sólo observamos los elementos acotados $x\in (\mathcal{E}^t)^*$ aparentemente tenemos una descomposición única $x=\alpha T^k x^+x^-$ con $\alpha \in L^*$ , $k\in \mathbb{Z}$ , $x^+\in 1+T\mathcal{O}_L\left[\!\left[ T \right]\!\right]$ y $x^-\in 1+\mathfrak{m}_L[\![ T^{-1} ]\!]\cap \mathcal{E}^t$ . ¿Alguien sabe dónde puedo encontrar una prueba de esto?

También me gustaría mucho una fuente, donde pueda leer sobre algunas propiedades básicas del anillo de Robba en general y especialmente sobre las dos cosas que acabo de nombrar.

Answer 1

No creo que Colmez utilice el registro de un elemento general de $\mathcal{R}_L$ . El anillo $\mathcal{R}_L$ es alguna localización/compleción del anillo de coordenadas en un grupo formal de Lubin-Tate, y el logaritmo que aparece en los trabajos de Colmez es el logaritmo del grupo formal, es decir $\log_{LT}(X)$ si elige una coordenada $X$ en su grupo formal (es decir, si elige una variable para $\mathcal{R}_L$ ). Si su grupo es $\mathbf{G}_m$ y $X$ es la variable habitual, entonces $\log_{\mathbf{G}_m}(X) = \log(1+X)$ .

En cuanto a la propiedad de factorización, véase, por ejemplo, "A p-adic local monodromy theorem" de Kedlaya, sección 6.2 (en particular prop 6.5), donde se demuestra una afirmación correspondiente para matrices, no sólo elementos.