En el libro de Schutz sobre relatividad general, he encontrado el producto punto entre vectores, la acción de un vector dual sobre un vector (o también un tensor sobre vectores) y el producto tensorial entre vectores duales y vectores. No soy capaz de entender la diferencia entre los tres de forma distintiva. Por favor, ayúdame. Intenta que sea sencillo y no demasiado matemático. Todavía soy un principiante.
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user1620696
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Por desgracia, esto es matemático porque es álgebra lineal. Aun así, intentaré hacerlo lo más sencillo posible.
Producto de puntos, también conocido como producto interior
El producto punto es el producto habitual de la geometría básica. Trabajemos con $\mathbb{R}^3$ El espacio tridimensional euclidiano. Dados dos vectores situados en el origen, $v,w\in \mathbb{R}^3$ definimos que el producto punto entre ellos es:
$$v\cdot w = v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z$$
La razón es que esto da información sobre longitudes y ángulos. En primer lugar, la longitud de un vector, que es la distancia entre el origen y el punto que alcanza, es simplemente $|v|=\sqrt{v\cdot v}$ el ángulo entre dos vectores se caracteriza por $v\cdot w = |v| |w| \cos\theta$ .
El producto interior acaba siendo el nombre de la generalización de esto. Primero se puede generalizar fácilmente a un espacio euclidiano de dimensión arbitraria $\mathbb{R}^n$ creando el producto interior entre $v,w\in \mathbb{R}^n$ como
$$\langle v,w\rangle=\sum_{i} v_i w_i$$
y definiendo la longitud y el ángulo mediante las fórmulas correspondientes. El producto interior se puede abstraer aún más. Se puede definir mediante axiomas: diciendo qué propiedades se espera que tenga. Y esto se generaliza aún más a espacios más abstractos. En definitiva, el producto interior proporciona información geométrica como los ángulos y las longitudes de los vectores.
También es importante entender que el producto interior te da la idea de proyectar un vector en la dirección del otro. En realidad, si $w$ es un vector unitario, $|w|=1$ entonces $\langle v,w\rangle$ es la proyección de $v$ en dirección a $w$ . Puede comprobarlo en $\mathbb{R}^3$ que sea de acuerdo con nuestra intuición.
La acción de un covector sobre un vector
Ahora, olvida $\mathbb{R}^n$ . Consideremos en cambio un espacio vectorial $V$ sobre los números reales. Asociado a cada espacio vectorial de este tipo, existe el llamado espacio dual denotado $V^\ast$ . Se define como el espacio de todas las funciones lineales que toma vectores y entrega números . En los símbolos, un miembro de $V^\ast$ es una función $f : V \to \mathbb{R}$ , toma un elemento del conjunto a la izquierda de la flecha y da un elemento a la derecha de la flecha. Además, $f$ es lineal, lo que significa que $f(\alpha v + \beta w) = \alpha f(v) + \beta f(w)$ . Todas estas funciones comprenden $V^\ast$ .
Resulta que si $V$ tiene un producto interno $\langle,\rangle$ definido en él, puede construir elementos de $V^\ast$ con ella. Sólo se fija un vector arbitrario $w\in V$ y definir $f_w : V\to \mathbb{R}$ para ser
$$f_w(v)=\langle v,w\rangle$$
¿Qué es? $f_w$ ? Es una función que toma un vector y lo puntea con el fijo $w$ Así lo proyecta. En realidad, independientemente de la existencia de un producto interno podemos pensar en todos los elementos de $V^\ast$ como cosas que toman vectores y extraen proyecciones. Esta es la forma de entender $V^\ast$ y covachas en general.
Por cierto, si $V$ es de dimensión finita y tiene un producto interior, como lo será en la relatividad general, esto también funciona al revés. Todos los covectores tienen esta forma: el producto interior con un determinado vector.
Lo más importante es que si $\{e_i\}$ es una base para $V$ Hay una base especial para $V^\ast$ llamada base dual de $\{e_i\}$ definido como todos los elementos $\varphi^i : V\to \mathbb{R}$ tal que $\varphi^i(e_j)=\delta^i_j$ .
El producto tensorial
El producto tensorial es totalmente diferente. Existe una definición muy general y abstracta que depende de la llamada propiedad universal. Básicamente dice lo siguiente: queremos la forma más general de multiplicar vectores entre sí y manipular estos productos obedeciendo algunas suposiciones razonables.
No seguiremos esta ruta. Para la geometría diferencial (que es el lenguaje de la relatividad general), existe otra definición que acaba siendo equivalente a ésta para el caso que nos interesa.
Dado un espacio vectorial $V$ Sabemos que $V^\ast$ el espacio de todas las funciones lineales $f : V\to \mathbb{R}$ . También conocemos el producto interior, que es una función que toma dos vectores y entrega un número. Simbólicamente escribimos $\langle,\rangle : V\times V\to \mathbb{R}$ porque lleva dos vectores a un número.
Además, si fijamos un vector $w\in V$ en cualquiera de las entradas de $\langle,\rangle$ La otra ranura es lineal. Un mapa de este tipo se llama bilineal. Es lineal en cada entrada con las otras mantenidas fijas con algo en ellas.
Definimos un tensor de tipo $(r,0)$ para ser la generalización a $r$ vectores. Toma $r$ vectores a un número, y es lineal en cada entrada con las otras mantenidas fijas. Escribimos $T : V\times\cdots \times V \to \mathbb{R}$ con $r$ copias de $V$ . El espacio de los tensores de tipo $(r,0)$ se denota $T_r^0 (V)$ y obviamente $T_1^0(V)=V^\ast$ .
Ahora, si tienes $f,g\in V^\ast$ es bastante obvio que $T(v,w)=f(v)g(w)$ es un elemento de $T_2^0(V)$ . Si $f\in V^\ast$ y $h\in T_2^0(V)$ por ejemplo, también tenemos $T(v_1,v_2,v_3)=f(v_1)h(v_2,v_3)$ un elemento de $T_3^0(V)$ .
La generalización es el producto tensorial. Es una operación que concatena dos tensores de esta manera. Se puede escribir como $\otimes : T_r^0(V)\times T_s^0(V)\to T_{r+s}^0(V)$ y se define de manera que si $T\in T_r^0(V)$ es un $(r,0)$ de tipo tensor y $S\in T_s^0(V)$ es un $(s,0)$ tipo tensor, entonces
$$T\otimes S(v_1,\dots,v_r,w_1,\dots,w_s)=T(v_1,\dots,v_r)S(w_1,\dots,w_s).$$
Ahora un teorema dice que dada una base $\{e_i\}$ de $V$ y la base dual $\{\varphi^j\}$ de $V^\ast$ , entonces para cada $r\in \mathbb{N}$ el conjunto de todos los productos de $r$ elementos $\varphi^j$ es una base de $T_r^0(V)$ . Por ejemplo, $\{\varphi^i\otimes \varphi^j\}$ es una base de $T_2^0(V)$ .
Diferencias y relaciones
Cada producto tiene su utilidad. Los productos interiores dan ideas geométricas como proyecciones, ángulos y longitudes. Los covectores cuando se aplican a los vectores también se puede pensar que dan algún tipo de proyecciones, pero no dan solo una noción de ángulos y longitudes. Mientras que los productos internos deben ser postulados (un espacio vectorial puede llevar un producto interno o no), todos los espacios vectoriales vienen con covectores juntos en el dual.
El producto tensorial es una multiplicación más general de vectores que permite construir un álgebra tensorial. Pero para la geometría diferencial, los tensores deben pensarse como mapas multilineales de una serie de vectores. En este contexto, los productos tensoriales permiten construir tensores de tipo superior juntando otros de tipo inferior.
Curiosamente, como el propio producto interior es un $(2,0)$ y como podemos formar una base para $T_2^0(V)$ utilizando covectores y el producto tensorial, vemos que el producto interior acaba siendo una combinación lineal de productos de covectores. Es, por tanto, construido a partir de covectores realmente.
yaauie
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El producto tensorial combina dos tensores de rango inferior en uno de rango superior. Por ejemplo, se pueden poner dos vectores $v^a$ y $w^b$ para crear un tensor de rango 2 $v^aw^b$ que puede pensarse como una matriz. En este ejemplo concreto, el producto tensorial es esencialmente el producto directo de dos vectores. Se puede generalizar esta idea a los tensores de mayor rango directamente.
El producto punto combina dos vectores en un escalar (un número). En realidad es el producto interior. Se necesita una métrica $g_{ab}$ para hacerlo.
La acción de un vector dual $\omega_a$ en un vector $v^a$ también resulta un escalar. La diferencia es que el tensor métrico no es necesario.
Si un tensor métrico $g_{ab}$ existe, las dos operaciones anteriores están relacionadas. Si un campo vectorial $w^a$ está dado, se puede construir un vector dual $\omega_a=g_{ab}w^b$ y la acción de $\omega_a$ en un vector $v^a$ es en realidad el producto interior entre $v^a$ y $w^a$ : $\omega_av^a=g_{ba}w^bv^a$ .
