¿Cómo se define el límite de un conjunto? ¿Es el límite de un conjunto abierto $S$ incluido en $S$ ?

Question

¿Cómo se define el límite de un conjunto? ¿Es el límite de un conjunto abierto $S$ , incluido en $S$ ?

Answer 1

Hay varias formas de caracterizar los límites. A mí me gusta la algebraica, expresada en términos de la operación de tomar el cierre de un conjunto.

Notación: si $A$ es un subconjunto de un espacio topológico, entonces $\overline{A}$ significa su cierre, $A^c$ su complemento, y $\partial A$ su límite.

Los siguientes hechos que relacionan los límites con los conjuntos abiertos y cerrados son verdaderos para cualquier subconjunto $A$ de un espacio topológico:

Teorema: $\partial A = \overline{A} \cap \overline{A^c}$

Teorema: $A$ es cerrado si y sólo si $\partial A \subseteq A$

Teorema: $A$ es abierto si y sólo si $A \cap \partial A = \varnothing$

Otra definición común es a través de la relación de proximidad:

Teorema: $x$ está cerca $A$ si y sólo si todo conjunto abierto $U$ que contiene $x$ satisface $U \cap A \neq \varnothing$

Teorema: $x \in \partial A$ si y sólo si $x$ está cerca $A$ y $x$ está cerca $A^c$

(nótese que el hecho concreto que se elija como definición no es importante; es relativamente común que distintas fuentes hagan elecciones diferentes)

Answer 2

Una forma fácil de entender el límite de un conjunto es la colección de puntos tales que si dibujamos bolas (de cualquier radio) alrededor de ellos, esa bola incluirá alguna parte del conjunto y alguna parte fuera del conjunto (no incluida en el conjunto)

Vamos a ilustrar esto con algunos ejemplos: 1.Consideremos el conjunto $[1,2]$ Supongamos que decimos que 1,5 es el punto límite, claramente si dibujamos una bola alrededor de ella de radio 0,2, ésta no contendrá ninguna parte fuera del conjunto.

2.Ahora consideremos un conjunto abierto para su segunda pregunta digamos $(2,3)$ Los puntos límite son el 2 y el 3. Intenta demostrar por ti mismo que ningún otro punto será el punto límite considerando la bola que los rodea, lo que confirma que el límite de un conjunto abierto no está incluido en el conjunto.

Answer 3

Si $A \subseteq X$ es un subconjunto de un espacio topológico $X$ entonces $\partial A$ el límite de $A$ en el espacio $X$ se define como:

$$\partial A = \{x \in X: \forall O \subseteq X \text{ open }: x \in O \implies O \cap A \neq \emptyset \text{ and } O \cap (X\setminus A) \neq \emptyset\}$$

es decir, el conjunto de puntos $x$ de $S$ tal que toda vecindad (abierta) de $x$ se cruza con ambos $A$ y su complemento. Así que $x$ está "cerca" de ambos $A$ y su complemento.

Ahora bien, si $A$ está abierto, para cualquier $x$ en $A$ El $A$ es a su vez un conjunto abierto que no interseca $X\setminus A$ Así que no hay punto de $A$ puede estar en el límite de $A$ .

Esta última observación responde a su pregunta: para un conjunto abierto $A$ : $A \cap \partial A = \emptyset$ .