La serie central inferior y el centro de $S/S^k$

Question

Dejemos que $S$ ser un $p$ -y asumir que $S$ tiene clase máxima, por lo que si suponemos que $\vert S \vert = p^n$ entonces la serie central inferior (y superior) tiene una longitud $n-1$ .

No sé mucho sobre las series centrales inferiores (y su conexión con las series centrales superiores), pero en mis notas he escrito $Z(S/S^2) \ge S^1/S^2$ . ¿Es esto un hecho general sobre las series centrales inferiores, que $Z(S/S^k) \ge S^{k-1}/S^k$ ?

Parece familiar en términos de la serie central superior, porque aquí $Z(S/Z_k(S)) = Z_{k+1}(S)/Z_k(S)$ . ¿Hay alguna conexión?

Answer 1

Dejemos que $xS^k \in S/S^k$ y $yS^k \in S^{k-1}/S^k$ con $x \in S$ , $y \in S^{k-1}$ . Para demostrar que $S^{k-1}/S^k \le Z(S/S^k)$ tenemos que demostrar que $xS^k$ y $yS^k$ conmutan entre sí o, en otras palabras, que su conmutador es el elemento trivial de $S/S^k$ .

Ahora $[xS^k, yS^k] = [x,y]S^k$ . Pero, como $x \in S$ y $y \in S^{k-1}$ , $[x,y] \in [S,S^{k-1}] = S^k$ . Así que $[x,y]S^k$ es efectivamente el elemento trivial de $S/S^k$ .