Demuestre que la intersección de todas las vecindades de un punto $a\in \mathbb{R}$ es el conjunto único {a}

Question

Este es bastante sencillo, utilizando el método de la contradicción. Tomando $\varepsilon=|a-b|$ ( $a \ne b$ ) y finalmente mostrar que $|a-b|$ es menor que $\varepsilon$ implica que b no pertenece a $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ . Aquí hay una imagen de mi problema resuelto por el libro de texto Aquí va mi enfoque alternativo. ¿Es válido el procedimiento? En caso afirmativo, ¿qué correcciones son necesarias?

Answer 1

Estás cerca de una solución, pero vamos a formularla correctamente.

Dejemos que $a\in \mathbb{R}$ . Demostraremos que $\bigcap N(a)=\left\{a\right\}$ donde la interesección recorre todas las vecindades de $a$ .

Ahora, por definición $a\in N(a)$ para cualquier vecindad, por lo que $\bigcap N(a)\supset\left\{a\right\}$ .

A la inversa, observe que para cualquier $\varepsilon>0$ tenemos que $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ es una vecindad de $a$ . Así, para cualquier $\varepsilon >0$ tenemos $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\supset \bigcap N(a)$ . Equivalentemente, $$\bigcap_{\varepsilon>0}(a-\varepsilon,a+\varepsilon)\supset \bigcap N(a).$$

Es un ejercicio sencillo demostrar que $\bigcap_{\varepsilon>0}(a-\varepsilon,a+\varepsilon)=\left\{a\right\}$ . Todo esto muestra las dos inclusiones y hemos terminado.