Interpretación del resultado de la desigualdad

Question

Me encuentro con la siguiente desigualdad:

$$3\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{4}^h > 4\pi h^2$$

Tras pasarlo por Wolfram, obtengo la siguiente desigualdad:

$$x>-\frac{3W_{-1}\big(-\frac{ln(2)}{2\sqrt[4]{3}\sqrt{\pi}}\big)}{ln(2)}$$

No estoy en absoluto familiarizado con el Lambert- $W$ por lo que agradecería algún tipo de explicación sobre el significado de este resultado. Me preocupa principalmente lo que esto significa sobre los posibles valores de $x$ (es decir, ¿se puede satisfacer la desigualdad con $x\in \mathbb{R}$ ?).

Answer 1

Sin función de Lambert.

Considere el problema como $$\frac{3 \sqrt{3}\, 2^{2 h/3} }{4\pi h^2} >1$$ y tomando logaritmos $$\log\left(\frac{3 \sqrt{3}\, 2^{2 h/3} }{4\pi h^2} \right)>0$$ Expandiendo el logaritmo (suponiendo que $h>0$ Consideremos la función $$f(h)=\log\left(\frac{3 \sqrt{3} }{4\pi } \right)+\frac{2h}3\log(2)-2\log(h)$$ y sus derivados $$f'(h)=\frac{2}3\log(2)-\frac 2h\qquad \qquad f''(h)=\frac 2{h^2}>0 $$ La primera derivada se cancela para $$h_*=\frac{3}{\log (2)}\approx 4.32809\implies f(h_*)=\log \left(\frac{2^{\frac{2}{\log (2)}-2} \log ^2(2)}{\sqrt{3} \pi }\right)\approx -1.81336$$ y luego hay dos valores de $h$ que hacen $f(h)=0$ .

Podemos calcular estas raíces mediante el método de Newton. Los iterados serían entonces

• para la primera raíz

$$\left( \begin{array}{cc} n & h_n \\ 0 & 1 \\ 1 & 0.726245 \\ 2 & 0.766487 \\ 3 & 0.767866 \\ 4 & 0.767868 \end{array} \right)$$ entonces $h_1\approx 0.767868$ .

• para la segunda raíz

$$\left( \begin{array}{cc} n & h_n \\ 0 & 10 \\ 1 & 13.3090 \\ 2 & 13.0201 \\ 3 & 13.0186 \end{array} \right)$$ entonces $h_2\approx 13.0186$ .

Así que $f(h)<0$ si $h_1< h < h_2$ .

Con la función de Lambert.

Lo que Wolfram Alpha le dio como resultado es la expresión analítica de $h_2$ pero, si se traza la función, se notará que falta una parte $(0 < h < h_1)$ .

De hecho, la ecuación tiene tres raíces que se escriben $$h_0=-\frac{3 W\left(\frac{\log (2)}{2 \sqrt[4]{3} \sqrt{\pi }}\right)}{\log (2)}\approx -0.564418$$ $$h_1=-\frac{3 W\left(-\frac{\log (2)}{2 \sqrt[4]{3} \sqrt{\pi }}\right)}{\log (2)}\approx 0.767868$$ $$h_2=-\frac{3 W_{-1}\left(-\frac{\log (2)}{2 \sqrt[4]{3} \sqrt{\pi }}\right)}{\log (2)}\approx 13.0186$$ y para $h_0 < h < h_1$ , $f(h) >0$ también.

Editar

Teniendo en cuenta la pequeña porción alrededor de $h=0$ se puede observar que, utilizando la serie de Taylor para la expresión original, obtendríamos $$3\sqrt{3}\cdot\sqrt[3]{4}^h - 4\pi h^2=3 \sqrt{3}+2 \sqrt{3} \log (2)\,h)+ \left(\frac{2 \log ^2(2)}{\sqrt{3}}-4 \pi \right)h^2+O\left(h^3\right)$$ Ignorando los términos de orden superior, las raíces de la cuadrática son $$\frac{ 3 \left(\pm\sqrt{12 \sqrt{3} \pi -3 \log ^2(2)}+\sqrt{3} \log (2)\right)}{2 \left(6 \pi -\sqrt{3} \log ^2(2)\right)}$$ es decir $\approx -0.565320$ y $\approx 0.765221$ para ser comparado con los valores exactos de $h_0$ y $h_1$ . Entre estas dos raíces, la función es positiva.

Si, utilizando Wolfram Alpha, escribe

    sqrt(3) (4^(1/3))^h-4 pi h^2 > 0

le da un rango en términos de dos funciones de Lambert