La solución de $\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln[\cos(x)]}{x}$

Question

Tuve una prueba de hoy que se tenía que resolver el siguiente límite:

$$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln[\cos(x)]}{x}$$

Yo no averiguar cómo resolver. Después de la prueba, le pregunté a un par de compañeros de clase y me dijeron que debía ser resuelto por el primer transporte de la multiplicación por $\frac{1}{x}$ dentro del logaritmo como un exponente y, a continuación, en sustitución de $\cos(x)$$\sqrt{1-\sin^2(x)}$, dando la siguiente expresión:

$$\lim\limits_{x \to 0^+} \ln[(1-\sin^2(x))^\frac{1}{2x}]$$

Sin embargo, no sé cómo continuar a partir de aquí. No es que importa mucho en este punto, pero yo todavía me gustaría saber cómo se supone que voy a resolver esto. No estoy seguro de si es aplicable aquí, pero no hemos aprendido la regla de L'Hôpital.

Answer 1

Tenga en cuenta que $\ln(\cos(0))=0$.

Así que podemos escribir nuestro límite como $$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln(\cos(x))-\ln(\cos(0))}{(x-0)}.$$

Tenga en cuenta que la expresión anterior es casi la habitual expresión para la derivada de $\ln(\cos(x))$$x=0$. (Si es necesario, volver atrás y buscar la definición de la derivada de $f(x)$$x=a$). La única diferencia es el uso de un solo lado del límite. Pero ¿qué pasa si las dos caras límite que existía?

Si tenemos suerte y el derivado de la $\ln(\cos(x))$ $0$ existe, el valor de la derivada en $x=0$ será nuestra respuesta.

Para diferenciar $\ln(\cos(x))$ en la forma habitual. Todo funciona muy bien, la derivada es $0$.

Añadido: espero que no hay ningún problema en encontrar la derivada, pero aquí están los detalles. Usando la Regla de la Cadena, obtenemos $$-(\sin(x))\frac{1}{\cos(x)}.$$ En $x=0$ esto es $0$.

Por lo que el $0^+$ resulta ser innecesaria, en la llanura de edad $0$ va a hacer. Las manipulaciones sugerido por los compañeros de clase no son necesarios, todo lo que se sigue de la definición de derivado, si sabemos que un par de diferenciación de las reglas.

Comentario: Esto no es realmente la forma en que yo lo haría, si yo necesitaba saber la respuesta. El "natural", es utilizar el poder de la serie de expansiones de $\cos(x)$$\ln(1+u)$. Pero ya que usted menciona que aún no había hecho L'Hospital de la Regla, supuse que todavía no han sido expuestos a la alimentación de la serie.

Pero el poder de enfoque de la serie que vale mucho la pena conocer. El poder de expansión de la serie de $\cos x$ es $$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!} +\cdots.$$

De manera muy informal, si $x$ es cerca de $0$, $\cos x$ es acerca de $1-x^2/2$.

El poder de expansión de la serie de $\ln(1+u)$ es $$u-\frac{u^2}{2}+\frac{u^3}{3} -\frac{u^4}{4}+\cdots.$$ (Esta expansión sólo es válida cuando se $-1 \lt u \le 1$.)

Así que cuando $x$ es cerca de $0$, $\ln(\cos(x))$ es acerca de $-x^2/2$. Dividir por $x$. Llegamos $-x/2$, que se aproxima $0$ $x$ enfoques $0$.

Answer 2

También podemos hacer esto sin el conocimiento de los instrumentos derivados (que supongo que todavía no ha llegado a).

Sabemos que $\displaystyle \lim_{x \to 0} (1-x)^{1/x} = e^{-1}$. Así, por $x$ lo suficientemente cerca de a $\displaystyle 0$

tenemos que $\displaystyle (1-x)^{1/x} \gt e^{-2}$ y por lo tanto de tomar los registros, obtenemos

$$ \frac{\ln (1-x)}{x} \ge -2$$ y así

$$ \ln(1-x) \ge -2x$$ for $\displaystyle x$ sufficiently close to $\displaystyle 0$.

Así

$\displaystyle \ln (\cos x) = \frac{1}{2} \ln (1 - \sin^2 x) \ge -\sin^2 x$

Así, por $\displaystyle x$ lo suficientemente cerca de a $\displaystyle 0$ tenemos que

$$ 0 \ge \frac{\ln (\cos x)}{x} \ge \frac{-\sin^2 x}{x}$$

Ya sabemos que $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, por el teorema del sandwich tenemos que el límite que usted busca es$\displaystyle 0$$\displaystyle \frac{\sin^2 x}{x} \to 0$$\displaystyle x \to 0$.

Answer 3

SUGERENCIA $\ $ Muchos límites, puede ser calculado mediante el reconocimiento de ellos como instancias de primer derivados y, a continuación, calcular el por derivación maquinalmente utilizando conocido derivado de las reglas. Usted puede encontrar un puñado de ejemplos en mis anteriores posts a partir de aquí.