¿Qué significan álgebra y cálculo?

Question

A veces veo frases como "el álgebra relacional" o "el cálculo lambda". ¿Cuál es la diferencia entre un álgebra y un cálculo?

Answer 1

El significado matemático de las palabras de uso prolongado cambia con el tiempo. Por ejemplo, límite en la época de Newton significaba el fin. Y desde hace un tiempo, algunos han intentado, con un éxito limitado, que el álgebra deje de ser un tema para convertirse en un objeto.

Aunque apenas es relevante, pasemos a la etimología. "Cálculo" significa guijarro. Los guijarros alisados se utilizaban en las versiones del mundo mediterráneo del ábaco, y con tablas de contar. Los profesionales expertos en el uso de cálculos para sumar, restar, multiplicar y, a veces, incluso dividir, se llamaban calculadoras .

A cálculo es un conjunto de algoritmos para resolver una determinada clase de problemas. Así, tenemos el Cálculo Diferencial, el Cálculo Integral y una serie de otros. Desde hace aproximadamente un siglo, la palabra (sin modificar) se ha asociado tan fuertemente a un pequeño número de cursos específicos que hoy en día sólo los que tienen una inclinación anticuada son propensos a nombrar su tema como cálculo.

El término "álgebra" deriva, como sabemos, de la obra de al-Khwarizmi Hisab al-jabr wa'l muqabala. Este fue el primer sistemática tratamiento de lo que ahora llamamos ecuaciones lineales y cuadráticas. Por supuesto, la gente de varias partes del mundo ya sabía cómo tratar dichas ecuaciones siglos antes de al-Khwarizmi. Pero fue él quien lo convirtió en una disciplina sistemática. Después de desarrollar la teoría, dio una serie de aplicaciones, entre ellas elaborados problemas de herencia.

El término "jabr" parece significar, o haber significado, "juntar" (advertencia: no conozco el árabe medieval ni el moderno). El término se refiere probablemente a procedimientos como el que transforma $7x-5=58$ a $7x=63$ . Sin embargo, el término no se explica en el libro de al-Khwarizmi, al menos no en la traducción al inglés.

Durante más de diez siglos después de al-Khwarizmi, el álgebra significaba procedimientos para resolver ecuaciones, o más generalmente el estudio de las ecuaciones. La mayor ruptura con esta tradición se produjo con el provocador título de van der Waerden Álgebra moderna (1930). Desde entonces, ha habido una divergencia gradual de uso entre los matemáticos y las escuelas.

Una divertida ilustración de la brecha es que mi biblioteca pública local tiene una copia prístina de la obra de Jacobson Álgebra básica El título de la obra, presumiblemente ordenado por un bibliotecario que no sabe que el título tiene diferentes significados en diferentes comunidades.

"Álgebra" en el sentido moderno (pero que ya no se llama moderno) lleva la connotación de preocupación por la estructura. "Cálculo" no. Algunas ramas del álgebra mantienen un vínculo con el estudio tradicional de las ecuaciones algebraicas. Otras no.

Answer 2

Para una persona ajena, el "álgebra" y el "cálculo" son subcampos de las matemáticas, como la "botánica" y la "taxonomía" son subcampos de la biología.

Pero los significados tienden a cambiar a medida que nos acercamos al núcleo.

Un "álgebra" es un objeto matemático, es decir, un conjunto $A$ provisto de ciertas relaciones, operaciones binarias, operaciones "exteriores" como $\alpha\cdot$ etc. En este sentido, un álgebra de conjuntos (utilizada en la teoría de la probabilidad) es un conjunto ${\cal F}$ de subconjuntos de un conjunto básico $\Omega$ de tal manera que para cualesquiera dos $A$ , $B\in{\cal F}$ los conjuntos $A\cup B$ , $A\cap B$ y $A':=\Omega\setminus A$ están de nuevo en ${\cal F}$ . En un sentido más estricto, un "álgebra" es un anillo formado por elementos $a$ , $x$ , $\ldots$ (con sus axiomas), provisto de una multiplicación exterior por números reales o complejos $\alpha$ tal que $(\alpha x) y=x(\alpha y)=\alpha ( x y)$ .

Por otro lado, un "cálculo" denota un marco de reglas aplicables en un determinado entorno. Existe un "cálculo funcional" que asigna a cualquier función analítica adecuada $f$ y cualquier operador $A:\ X\to X$ en un espacio de Banach $X$ un operador $f(A)$ de manera que cosas como las expansiones de Taylor, las integrales de Cauchy, etc., tienen sentido para $f(A)$ . En un sentido más estricto, la palabra "cálculo" designa el conjunto de reglas relativas al teorema fundamental del "cálculo", en particular el modo en que calculamos áreas, volúmenes y similares encontrando "expresiones finitas" que son "primitivas" de otras "expresiones finitas".

Answer 3

Vine aquí con la esperanza de una elaboración de lo que encontré en estas diapositivas de acceso público pero en realidad creo que está expuesto de forma más sucinta y satsificativa (a mi entender, y con conocimientos limitados), así que lo volveré a exponer por si es de utilidad:

Álgebra - Método/algoritmo de procedimiento que especifica cómo para obtener los resultados.

Cálculo - Descripción de qué hace un resultado tal, sin saber cómo obtenerlos.

Las diapositivas están en el contexto del Cálculo Relacional (en comparación con el AR), así que por ejemplo, dado el problema de encontrar aquellas personas con padres llamados Juan:

$$\pi_{\text{name}}\ \sigma_{\text{fathers_name}=\text{'John'}}\ \text{People}$$

es una relación álgebra nos dice cómo para encontrar los nombres de esas personas.

$$\{\ t\ \vert\ t\in\text{People} \wedge t[\text{fathers_name}]=\text{'John'}\ \}$$

es una relación cálculo nos dice qué hace una respuesta; no cómo encontrarlas.

Answer 4

Como parece que esto no se ha mencionado todavía...

Ramas

El análisis se refiere al estudio de los elementos relacionados.
(Puntos límite, derivadas de curvas, etc.)

El álgebra es el estudio de los espacios estructurados.
(Anillos, espacios de medida, espacios topológicos, etc.)

El cálculo proporciona algoritmos para lo anterior.

Ejemplo

Consideremos los espacios de Banach.
Considerar operadores acotados entre espacios de Banach.

Como analista, uno se preocupa por encontrar las propiedades de los operadores, por ejemplo, la clase de traza.
En este sentido, los operadores acotados se consideran elementos individuales.

Como algebrista uno se preocupa por encontrar criterios de isomorfia, por ejemplo, la reflexividad.
En ese sentido, los operadores acotados se ven como un espacio en sí mismo.

El cálculo funcional puede utilizarse en ambos casos.
(Por ejemplo, el álgebra de Weyl permite representaciones unitarias).

Resumen

Por último, permítanme citar a Martin Argerami:

"Soy un Operador Algebraico (lo que curiosamente me convierte en un analista !)"