Distancia a la que se encuentra un punto arbitrario a lo largo de un vector dado

Question

Digamos que tengo un vector en un espacio 2D definido por dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ : $$\vec{v}=(x_2 - x_1, y_2 - y_1)$$ Me gustaría encontrar a qué distancia de ese vector un punto arbitrario $(x_3, y_3)$ es. Este lenguaje tan impreciso $^*$ Así que he intentado crear un diagrama que muestre la situación.

En este diagrama, la cantidad que me interesa $a$ que puedo calcular utilizando el teorema de Pitágoras si sé $b$ y $c$ . Lo sé. $c$ que es la longitud del vector $(x_3 - x_1,y_3 - y_1)$ , dado por, $$c = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2}$$ Por lo tanto, ahora tengo que calcular $b$ la longitud de un vector - que llamaré $\vec{u}$ - que es perpendicular a $\vec{v}$ y pasa por el punto $(x_3, y_3)$ . Para $\vec{u}$ y $\vec{v}$ para ser perpendicular el producto punto debe ser cero. Es decir,

$$\vec{v}\cdot \vec{u}=0$$

$$(x_4-x_3)(x_2-x_1)+(y_4-y_3)(y_2-y_1)=0$$

Aquí es donde empiezo a flaquear: una ecuación con dos incógnitas, $y_4$ & $x_4$ . Espero que haya alguna restricción obvia en $\vec{u}$ que debería utilizar para eliminar una incógnita, pero mi mente privada de sueño no ofrece ninguna ayuda. ¿Puede alguien indicarme lo que me he perdido?

$$$$

---

$^*$ Realmente quiero usar la palabra proyecto para describir cómo mi punto arbitrario $(x_3, y_3)$ se coloca a lo largo de ese vector. ¿Es ésta la terminología correcta?

Answer 1

Tiene razón al llamar a esto una proyección. Si $(x_1,y_1)$ es el origen, entonces se puede proyectar ${\bf u} = (x_3,y_3)$ en $\bf v$ así:

$${\rm proj}_{\bf v}{\bf u} = \frac{\bf u \cdot v}{\bf v \cdot v}{\bf v}.$$

Si $(x_1,y_1)$ no es el origen, entonces sólo hay que cambiar el marco de referencia para que lo sea.

Answer 2

Consideremos los vectores $v_1 = (x_2-x_1,y_2-y_1)$ y $v_2 = (x_3-x_1,y_3-y_1)$ . Se puede calcular el coseno del ángulo entre estos dos vectores de la siguiente manera:

$\cos \theta = \frac{<v_1,v_2>}{||v_1||||v_2||}$ ,

donde $<v_1,v_2>$ es el producto punto y $||.||$ es la norma. Una vez hecho este cálculo, es fácil ver que $a = c \cos \theta$ y $b = c \sin \theta$ .

La cantidad $a$ es la proyección de la que hablas y está relacionada con el producto punto como se ha descrito anteriormente.