¿Hay algún enigma matemático abierto?

Question

¿Hay algún enigma (matemático) que siga sin resolverse? Me refiero únicamente a cuestiones accesibles y comprensibles para el profano en la materia y que no hayan sido resueltas, a pesar de los serios esfuerzos, por los matemáticos (o los profanos en la materia).

Mi pregunta no se refiere a los rompecabezas que se ha demostrado que no tienen solución o que tienen múltiples soluciones (o que se ha demostrado que están formulados de forma ambigua).

Answer 1

El problema del sofá .

De Wikipedia:

Pide la forma bidimensional rígida de mayor superficie $A$ que que se puede maniobrar a través de una región plana en forma de L con patas de anchura unitaria de anchura. El área $A$ así obtenida se denomina constante de sofá. El valor exacto de la constante de sofá es un problema abierto.

Autor de la imagen: Claudio Rocchini, ver este enlace

Answer 2

El Conjetura de Collatz parece encajar en el proyecto de ley.

Considere la función $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (aquí $0 \not\in \mathbb{N}$ ) dado por

$$f(n) = \begin{cases} \frac{n}{2} &\ \text{if}\ n\ \text{is even,}\\ &\\ 3n+1 &\ \text{if}\ n\ \text{is odd.} \end{cases}$$

La conjetura de Collatz afirma que, para cada $n \in \mathbb{N}$ , hay $k \in \mathbb{N}$ tal que $f^k(n) = 1$ donde $f^k = \underbrace{f\circ f\circ \dots \circ f \circ f}_{k\ \text{times}}$ . Es decir, para cualquier número entero positivo, la aplicación repetida de la función $f$ acabará conduciendo a $1$ .

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Por supuesto, esta conjetura puede afirmarse sin necesidad de referirse a la función $f$ sino las reglas de un juego como el siguiente.

1. Elige un número entero positivo.
2. Si el número es par, divídelo por dos. Si el número es impar, multiplícalo por tres y añade uno.
3. Si el número del paso 2 es $1$ para. En caso contrario, repita el paso 2.

¿El juego siempre termina, independientemente del número con el que empecemos?

Answer 3

De Frankl conjetura de unión de conjuntos cerrados : si $\mathcal F$ es una colección finita no vacía de conjuntos finitos no vacíos, y si $X\cup Y\in\mathcal F$ siempre que $X,Y\in\mathcal F$ debe haber un elemento que esté en más de la mitad de los miembros de $\mathcal F$ ?

P.D. Hay una forma equivalente de la conjetura, donde la familia $\mathcal F$ se le permite tener $\emptyset$ como elemento; en este caso la condición $\mathcal F\ne\emptyset$ tiene que reforzarse para $\bigcup\mathcal F\ne\emptyset$ y la conclusión tiene que ser debilitada a un elemento que está en al menos la mitad de los miembros de $\mathcal F$ .

Answer 4

Siguiendo el ejemplo de O.L., creo que la problema de la aguja en movimiento sigue abierta:

Dada una copia suavemente incrustada de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}^3$ que contiene $\{ (x,0,0) \ | \ x \in (-\infty,-C] \cup [C, \infty) \}$ ¿es siempre posible deslizar continuamente una aguja de longitud unitaria de longitud que se encuentra en el rayo $(-\infty, -C]$ al rayo $[C, \infty)$ manteniendo la cabeza y la cola de la aguja en la curva durante todo el proceso?

Answer 5

El conjetura del corredor solitario es especialmente sencillo; si $k$ los corredores corren alrededor de una pista circular de longitud $1$ - todos comenzando desde el mismo punto - a velocidades distintas y constantes, entonces para cada corredor habrá un momento en el que ese corredor esté a una distancia de al menos $1/k$ de cualquier otro corredor, también conocido como solitario.

El resultado es conocido por $k \leq 7$ pero aún no se ha descubierto una solución general.

_Imagen de Claudio Rocchini ._