Mostrar $\lim_{j\to\infty}j^{(2p-2)/p} \left| \int_{1/j+1}^{1/j}f(x)\,dx\right| =0$

Question

Asumiendo para $1<p<\infty$ que $f \in L^p([0,1])$ y denota $\| f\|_p = M< \infty$ Aquí está lo que tengo hasta ahora:

$$\lim_{j\to\infty}j^{(2p-2)/p}\left|\int_{1/j+1}^{1/j}f(x)\,dx \right| = \lim_{j\to\infty}j^{(2p-2)/p} \left|\int_{[0,1]}\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}f(x)\,dx\right| \leq \lim_{j\to\infty}j^{(2p-2)/p}\int_{[0,1]}|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}f(x)|\,dx$$

Ahora esa integral es sólo $\|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}f(x) \|_1$ así que por la desigualdad de Holder: $$\|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}f(x) \|_1 \leq \|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]} \|_{\frac{p}{p-1}}\|f(x)\|_p = M\bigg(\int_{[0,1]}|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}|^{\frac{p}{p-1}}\,dx \bigg)^{\frac{p-1}{p}}=M\left[\frac{1}{j(j+1)}\right]^{\frac{p-1}{p}}$$

Y luego sustituir en el límite, $$\lim_{j\to\infty}j^{(2p-2)/p}\int_{[0,1]}|\mathbf{1}_{[1/j+1,1/j]}f(x)|\,dx \leq \lim_{j\to\infty}j^{\frac{2(p-1)}{p}}\left[\frac{1}{j(j+1)}\right]^{\frac{p-1}{p}}M = \lim_{j\to\infty}M \left[\frac{j^2}{j(j+1)}\right]^{\frac{p}{p-1}}=M$$

¿He metido la pata en alguna parte con mis exponentes? ¿O es que está totalmente equivocado? Me dijeron que usara el de Holder como pista.

Answer 1

Establecer $g_{j}(x) = j^{2/q}\cdot1_{[1/(j+1),1/j]}(x)$ , donde $q=p/(p-1)$ denota el exponente de Hölder conjugado de $1<p<\infty$ y observe que su problema es equivalente a demostrar que la secuencia $\left\{g_{j}\right\}_{j=1}^{\infty}$ converge débilmente a $0$ en $L^{q}([0,1])$ . La prueba se puede realizar de varias maneras, pero la más sencilla que se me ocurre es utilizar el hecho de que los soportes compactos $L^{p}$ -funciones en $(0,1)$ son densos en $L^{p}([0,1])$ . Para ver esto, considere $f_{n}= 1_{[1/n, 1/(n+1)]}f$ , para $f\in L^{p}([0,1])$ y utilizar el teorema de convergencia dominada para demostrar que $f_{n}\rightarrow f$ en $L^{p}([0,1)]$ .

Para ello, dejemos que $f$ sea una función arbitraria en $L^{p}([0,1])$ y $\varepsilon >0$ . Por densidad, podemos elegir un $f_{\varepsilon}\in L^{p}([0,1])$ con soporte compacto en $(0,1)$ , de tal manera que $\| f-f_{\varepsilon} \|_{p}< \varepsilon$ y elegir un número entero grande $N_{\varepsilon}>0$ con la propiedad de que el intervalo $[0,1/N_{\varepsilon}]$ no intersecta el soporte de $f_{\varepsilon}$ . Como ya ha observado, es sencillo comprobar que $\| g_{j} \|_{q} \leq 1$ para todos $j\geq 1$ . Además, se deduce que para todo $j> N_{\varepsilon}$ tenemos

$$\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}g_{j}dx = 0.$$ Ahora combinando esto y aplicando la desigualdad de Hölder, obtenemos

$$\lvert \int_{0}^{1}fg_{j}dx \rvert = \lvert \int_{0}^{1}(f-f_{\varepsilon})g_{j} dx \rvert \leq \| f-f_{\varepsilon} \|_{p} < \varepsilon \qquad ,\, \forall j \geq N_{\varepsilon}.$$ Esto demuestra la afirmación deseada.