¿Esta afirmación es cierta?
En una espasa métrica $(E,d)$ , una secuencia $(x_n)$ es Cauchy si y sólo si $ \forall k\in \mathbb{N}, \lim_{n\rightarrow+\infty}d(x_{n+k},x_n)=0$
He demostrado que $\Rightarrow$ es cierto, de hecho si $(x_n)$ es Cauchy entonces para todo $\varepsilon>0,\exists n_0\in\mathbb{N}, \forall p,q\geq n, d(x_p,x_q)<\varepsilon$ sigue siendo correcto para todos $ n\geq n_0$ y $m=n+k>n\geq n_0$
Pero no sé si $\Leftarrow$ ¿es cierto?
La equivalencia no es correcta.
Para ver esto, considere cualquier serie divergente de números reales $\sum a_n$ tal que $a_n\to 0$ como $n\to \infty$ por ejemplo $a_n=\frac1n$ . Entonces defina $x_n=a_1+\dots +a_n$ . Esta es una secuencia no Cauchy (como cualquier secuencia no convergente de números reales), pero $x_{n+k}-x_n=a_{n+1}+\dots +a_{n+k}\to 0$ como $n\to \infty$ para cualquier $k\in\mathbb N$ ya que es la suma de $k$ términos que tienden a $0$ eso es, $d(x_n,x_{n+k})\to 0$ como $n\to\infty$ . Así que la implicación $\Leftarrow$ no se sostiene.
Si lo prefiere, puede tomar $x_n=\log n$ o $x_n=\sqrt{n}$ y comprueba que $x_{n+k}-x_n\to 0$ como $n\to \infty$ para cualquier $k\in\mathbb N$ .
Por otro lado, su prueba de la otra implicación es correcta.
Última observación: de hecho, el supuesto " $\forall k\in\mathbb N\; d(x_{n+k},x_n)\to 0$ " es equivalente al aparentemente más débil " $d(x_{n+1},x_n)\to 0$ ", como puede comprobar fácilmente.
¡¡por supuesto que está mal!! Considere $x_n=\frac{1}{n}$ la secuencia converge por lo tanto es una secuencia de Cauchy, pero $d(x_{n+k},x_n)\neq 0$ para todos $k$ .
La afirmación correcta sería
$(x_n)$ es cauchy $\iff \forall \varepsilon>0, \exists N\in\mathbb N:\forall n,k\in\mathbb N, n\geq N\implies d(x_{n+k},x_n)<\varepsilon$
¡y esta es la definición de una secuencia de Cauchy también !
Con la forma en que lo editaste, en realidad acabas de escribir la definición de una sucesión de Cauchy de una manera diferente.
$\lim_{n\to+\infty}d(x_{n+k},x_n)=0$ significa que para cada $\varepsilon>0$ existe $N$ tal que $d(x_{n+k},x_n)<\varepsilon\ \forall\ n>N$ .
Pero como $k$ puede ser cualquier número natural arbitrario, esto significa que $d(x_n,x_m)<\varepsilon\ \forall\ n>N,m>N$ .
Por lo tanto, no ha cambiado nada en realidad.
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