¿Son resolubles las secuencias geométricas recursivas con segundo término?

Question

Consideremos la siguiente fórmula recursiva:

$$ U_n = a U_{n-1}+f(n) $$

Para $f(n)=b$ ( $f$ independiente en $n$ ), es posible encontrar la expresión analítica para $U_n$ . Mi pregunta es: ¿Existe una expresión analítica de $U_n$ para un $f(n)$ ?

Answer 1

Supongamos que tenemos la recurrencia $$f_{n}=a_n+b_nf_{n-1}\qquad n\ge1,\ \ f_0\text{ given}.$$ Establecer $B_n=\prod_{k=1}^{n}b_k$ y dividir por $B_n$ . Obtenemos $$\frac{f_n}{B_n}=\frac{a_n}{B_n}+\frac{f_{n-1}}{B_{n-1}}.$$ Configuración $F_n=f_n/B_n$ y $A_n=a_n/B_n$ , $$F_m-F_{m-1}=A_m.$$ Suma ambos lados de $m=1$ a $n$ : $$F_n-F_0=\sum_{m=1}^{n}A_m,$$ que es $$f_n=f_0B_n+\sum_{m=1}^{n}a_m\frac{B_n}{B_m}$$ que puede simplificarse más si se desea.