Cómo calcular $\lim\limits_{{\rho}\rightarrow 0^+}\frac{\log{(1-(a^{-\rho}+b^{-\rho}-(ab)^{-\rho}))}}{\log{\rho}} $ con $a>1$ y $b>1$ ?

Question

¿Cómo se calcula esta pregunta? $$\lim\limits_{{\rho}\rightarrow 0^+}\frac{\log{(1-(a^{-\rho}+b^{-\rho}-(ab)^{-\rho}))}}{\log{\rho}} ,$$ donde $a>1$ y $b>1$ .

Gracias a todos.

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que tiene $(1-a^{-\rho})(1-b^{-\rho})$ dentro del logaritmo en el denominador, y que $$ \frac{d}{d\rho}a^{-\rho}= \frac{d}{d\rho}e^{-\rho\ln a}= -e^{-\rho\ln a}\cdot\ln a= -a^{-\rho}\ln a. $$ Así que $$ \begin{align}L&= \lim_{\rho\to0^+} \frac{\log{(1-(a^{-\rho}+b^{-\rho}-(ab)^{-\rho}))}}{\log{\rho}} \\&=\lim_{\rho\to0^+} \frac{\log(1-e^{-\rho\ln a})+\log(1-e^{-\rho\ln b})}{\log{\rho}} \\&\stackrel*=\lim_{\rho\to0^+} \rho\left[ \frac{a^{-\rho}\ln a}{1-a^{-\rho}}+ \frac{b^{-\rho}\ln b}{1-b^{-\rho}} \right] \\&=\lim_{\rho\to0^+} \frac{\rho\ln a}{a^\rho-1}+ \frac{\rho\ln b}{b^\rho-1} \\&\stackrel*=\lim_{\rho\to0^+} \frac{\ln a}{a^\rho\ln a}+ \frac{\ln b}{b^\rho\ln b} \\&=2 \end{align} $$ donde hemos utilizado la regla de L'Hopital ( $*$ ) dos veces y álgebra en las líneas restantes. Por último, nótese que aunque mi derivación supone que $\log=\ln$ son ambos base $e$ la respuesta es la misma si $\log$ es la base $10$ porque $$\frac{d}{dx}\log_{10} x =\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{\ln 10} =\frac1{x\ln 10},$$ y los dos factores de $\ln 10$ se anularía después de la primera aplicación de la regla de L'Hopital.

El post original sugería que la respuesta debía ser $1$ . Tal resultado propuesto podría ser la consecuencia de llegar erróneamente a $$\frac{\ln a+\ln b}{\ln a+\ln b}\ne \frac{\ln a}{\ln a}+\frac{\ln b}{\ln b}.$$

Answer 2

Uso de las expansiones

$$e^z=1+z+\frac12 z^2+O(z^3)$$

y

$$\log(1+x)=O(x)$$

podemos escribir

$$\begin{align} \log\left(1-a^{-\rho}-b^{-\rho}+(ab)^{-\rho}\right)&=\log\left(1-e^{-\log(a)\rho}-e^{-\log(b)\rho}+e^{-\log(ab)\rho}\right)\\\\ &=\log\left(\log(a)\log(b)\rho^2+O(\rho^3)\right)\\\\ &=\log(\log(a)\log(b)\rho^2)+O(\rho)\\\\ &=\log(\log(a)\log(b))+2\log(\rho)+O(\rho) \end{align}$$

Por lo tanto, tenemos

$$\lim_{\rho\to 0^+}\frac{\log\left(1-a^{-\rho}-b^{-\rho}+(ab)^{-\rho}\right)}{\log(\rho)}=2$$

Answer 3

La factorización del argumento de $\log$ podemos ver que el numerador se puede escribir como $$\log(1-a^{-\rho})+\log(1-b^{-\rho})$$ y observamos que tenemos $$\lim_{\rho\to 0^{+}}\frac{a^{\rho}-1}{\rho}=\log a$$ lo que implica que $$\lim_{\rho\to 0^{+}}\frac{1-a^{-\rho}}{\rho\log a}=1$$ Ahora podemos escribir $$\frac{\log(1-a^{-\rho})}{\log\rho} = \dfrac{\log\left(\dfrac{1-a^{-\rho}}{\rho\log a}\right)+\log\rho +\log\log a}{\log\rho} = 1 +\dfrac{\log\left(\dfrac{1-a^{-\rho}}{\rho\log a}\right) +\log\log a}{\log\rho}$$ por lo que esta expresión tiende a $1$ como $\rho\to 0^{+}$ . Del mismo modo, $\dfrac{\log(1-b^{-\rho})}{\log\rho} \to 1$ como $\rho\to 0^{+}$ . Por lo tanto, el límite deseado es $1+1=2$ . La respuesta es válida incluso cuando $0<a,b<1$ pero entonces hay que dividir el numerador como $$\log(a^{-\rho}-1)+\log(b^{-\rho}-1)$$