Definición de espacio n hiperbólico

Question

Estoy un poco confundido sobre la definición de hiperbólico $n$ -espacio. ¿Cómo vemos $\mathbb{H}^n$ como un modelo de espacio homogéneo?

Podemos pensar, que el plano medio superior de Poincare $\mathfrak{H}$ como $\mathbb{H}^2$ y también pensar como $SL(2, \mathbb{R})/SO(2,\mathbb{R}).$ Con la ayuda de la descomposición de Iwasawa podemos obtener un sistema de coordenadas de $\mathbb{H}^2$ .

1) El espacio hiperbólico real tiene un modelo de espacio simétrico de la forma $SO^+(n, \mathbb{R})/O(n,\mathbb{R})$ . Estoy confundido sobre la conexión de esta definición con la anterior. Más aún, ¿qué entendemos por "modelo simétrico" y "modelo homogéneo"?

2) ¿Cuál es el modelo de espacio homogéneo análogo de $\mathbb{H}^n$ ?

3) ¿Podemos pensar también en $\mathbb{H}^2=PGL(2,\mathbb{R})/PO(2, \mathbb{R})$ ?

4) En lugar de tomar $\mathbb{R}$ si se toma el anillo de adeles $\mathbb{A}$ Entonces $SL(2, \mathbb{A})/SO(2,\mathbb{A})$ también se considera como $\mathbb{H}^2$ (debido a la descomposición de Iwasawa podemos tener un sistema de coordenadas exactamente similar)?

Answer 1

Hiperbólica real $n$ -el espacio es $SO(n,1)/S(O(n)\times O(1))$ y la hiperbólica compleja $n$ -el espacio es $SU(n,1)/S(U(n)\times U(1))$ .

Existen varios mapas de isogenias anómalas (finito a uno) de otros grupos clásicos a grupos ortogonales, lo que explica $SL_1(\mathbb R)\to SO(2,1)$ y $SL_2(\mathbb C)\to SO(3,1)$ .

Tu punto 1) tiene algún problema, ya que el cociente que has escrito puede no tener sentido (el supuesto subgrupo puede no serlo realmente...), por no hablar de que sería compacto, lo que hiperbólico $n$ -el espacio no lo es. Necesita "firmas"...

La cuestión sobre la distinción entre modelos "homogéneos" y "simétricos-espaciales" es que no conozco ninguna distinción seria, excepto que "simétrico-espacial" puede requerir más, por ejemplo, que el subgrupo $H$ en un cociente $G/H$ es compacto .

2) Los modelos de hiperbólica $n$ -Los espacios son como los anteriores.

3) Sí, hiperbólico $2$ -también es expresable en términos de $PGL_2(\mathbb R)$ en parte debido a las anomalías $SL_2(\mathbb R)\to SO(2,1)$ .

4) El análogo de adelanto no es lo que quieres, porque (en parte) $SO_2(\mathbb A)$ no es en absoluto un subgrupo compacto máximo de $SL_2(\mathbb A)$ . Es es la adelanto del subgrupo algebraico $SO(2)$ de $SL_2$ pero esa es otra historia.