Unicidad de la solución de EDO

Question

En la página 18 del libro Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Wolfgang Walter se presenta el siguiente ejemplo:

$$y'=-x(sgn( y))\sqrt{|y|}= \begin{cases} -x\sqrt{y} & \text{para } y\geq 0 \\ x\sqrt{-y} & \text{para } y< 0 \end{cases},$$

cuya solución es

$$y(x;C)=\frac{1}{16} (C-x^2)^2 \text{ en } (-\sqrt{C}, \sqrt{C}) \text{ } (C>0)$$

Se dice que esta función puede extenderse estableciendo $y(x;C)=0$ para $|x|\ge \sqrt{C}$, en cuyo caso la solución estará definida en $\mathbb{R}$. Luego se menciona que no hay otras soluciones, ya que $g(y)=\sqrt{|y|}$ se anula solo para $y=0$. Por lo tanto, cada PVI con $y(\xi)=\eta\ne 0$ es localmente única y solucionable.

No entendí de lo anterior cómo se sigue que $y(\xi)\ne 0$ es localmente única y solucionable.

También se dice que para el PVI con $y(\xi)=0$ hay infinitas soluciones en el caso en que $\xi \ne 0$, pero solo una solución en el caso en que $\xi=0$.

Tampoco entendí cómo se sigue la parte anterior para $\xi=0$ y $\xi \ne 0$.

¿Podría alguien aclarar los dos puntos anteriores?

Answer 1

Tenga en cuenta que $g(y)=\text{sgn}(y)\sqrt{|y|}=0$ si y solo si $y=0$. Para el IVP con $y(\xi)=\eta\neq0$, existe un $\delta>0$ tal que $|y(x)|>\frac{|\eta|}2$ para $\forall x\in[\xi-\delta,\xi+\delta]$. Sea $f(x,y)=xg(y)$ y luego satisface la condición de Lipschitz sobre $y$. De hecho, para $y_1,y_2$ con $|y_1|>\frac{|\eta|}2$ $|y_2|>\frac{|\eta|}2$ $$\begin{eqnarray*} &&|f(x,y_1)-f(x,y_2)|\\ &=&|x||\sqrt{|y_1|}-\sqrt{|y_2|}|=|x|\frac{||y_1|-|y_2||}{\sqrt{|y_1|}+\sqrt{|y_2|}}\\ &\le&(|\xi|+\delta)\frac{|y_1-y_2|}{2\sqrt{\frac{\eta}{2}}}\\ &=&C|y_1-y_2| \end{eqnarray*}$$ donde $$C= \frac{(|\xi|+\delta)}{2\sqrt{\frac{\eta}{2}}}.$$ Entonces, por el teorema de existencia y unicidad, el IVP es soluble en $[\xi-\delta,\xi+\delta]$. Esto es lo que significa que el IVP con $y(\xi)=\eta\neq0$ es localmente soluble.