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intercambiar los índices del tensor de rango 2

Tengo un tensor mixto de segundo orden representado por una matriz de 2x2:

$$A_{i}\,^{j}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}_{ij} $$

Y un tensor métrico

$$g_{ij}= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}_{ij} $$

Estoy tratando de encontrar los elementos de $A^{i}_{\,j}$ pero no estoy seguro de cómo se puede hacer esto.

He intentado $A^{i}_{\,j}=g^{i\ell}(g_{jk}A_{\ell}^{\,k})$ pero estoy bastante seguro de que esta no es la forma de hacerlo.

Entonces, ¿cómo podría calcular los elementos de ese tensor? Ni siquiera estoy seguro de si $g_{ij}=g^{ij}$ es correcto.

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janmarqz Puntos 4027

Dado que la multiplicación de matrices $C=[C_{ij}]$ y $D=[D_{ij}]$ viene dada por una ley como $$(CD)_{ij}=C_{is}D_{sj}$$ con $s$ sumando y algo así para cualquier otro caso, entonces para tu caso $$A^i{}_j=g^{il}(g_{jk}A_l{}^k)$$ debe reordenar como $$A^i{}_j=g^{il}A_l{}^kg_{kj}$$ y concluir que, matricialmente, esto es $G^{-1}AG$ ya que $g^{ij}$ son las entradas de la matriz $G^{-1}$ , donde $G=[g_{ij}]$ .

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