Tengo un tensor mixto de segundo orden representado por una matriz de 2x2:
$$A_{i}\,^{j}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}_{ij} $$
Y un tensor métrico
$$g_{ij}= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ \end{pmatrix}_{ij} $$
Estoy tratando de encontrar los elementos de $A^{i}_{\,j}$ pero no estoy seguro de cómo se puede hacer esto.
He intentado $A^{i}_{\,j}=g^{i\ell}(g_{jk}A_{\ell}^{\,k})$ pero estoy bastante seguro de que esta no es la forma de hacerlo.
Entonces, ¿cómo podría calcular los elementos de ese tensor? Ni siquiera estoy seguro de si $g_{ij}=g^{ij}$ es correcto.