Regla de la cadena de las derivadas parciales

Question

Si $f$ es una función diferenciable definida $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ y $f(2,1) = 3$ y $\nabla f(2,1) = (4,3)$ , encontrar $\nabla G(1,1)$ con $G(x,y) := x^2yf(x^2 +y^2, xy)$ .

Yo escribí el $G_x$ como $2xyf(x^2 +y^2, xy) + x^2yf'(x^2 + y^2, xy)f_x(x^2 + y^2, xy)$ pero no sé cuál es el valor de $f'(x^2 + y^2, xy)$ es.

Gracias de antemano

Answer 1

Parece que has calculado $\partial_x f(x^2 + y^2, xy)$ incorrectamente. Definir $h:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ por $h(x,y) = (x^2 + y^2, xy)$ y utilizar la regla de la cadena en $f(h(x,y))$ para obtener la fórmula correcta, es decir $2xf_x(x^2 + y^2,xy) + yf_y(x^2 + y^2, xy)$ . Recuerda que es la suma de los parciales de cada ranura por la derivada de la función que ves en esa ranura.

Answer 2

Si se pregunta por los mecanismos internos de la regla de la cadena para las derivadas parciales, puede leerlo en Notas en línea de Paul , específicamente en el "Caso 2". Si piensa en $\nabla f(x,y)$ como $\frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{j}$ , usted sabe que en el punto $(2,1)$ $\frac{\partial f}{\partial x} = 4$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 3$ .

A continuación, puede establecer $u(x,y) = x^2 + y^2$ y $v(x,y) = xy$ y utilizar las derivadas parciales $\frac{\partial u}{\partial x}$ , $\frac{\partial u}{\partial y}$ , $\frac{\partial v}{\partial x}$ y $\frac{\partial v}{\partial y}$ para crear una nueva expresión...

$\nabla f(u,v) = (\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x})\boldsymbol{i} + (\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y})\boldsymbol{j}$

Por la lógica del primer párrafo, se sabe cuáles son los valores de $\frac{\partial f}{\partial u}$ y $\frac{\partial f}{\partial v}$ están en el punto $(2,1)$ . Las expresiones en los paréntesis transforman que $f(u,v)$ resultado en términos de $x$ y $y$ utilizado en $G(x,y)$ .

Answer 3

Denote $$g(x,y)=x^{2}y$$ Entonces por la regla del producto $$\nabla G=f\nabla g+g\nabla f$$ $$\nabla g=2xy\boldsymbol{i}+x^{2}\boldsymbol{j}$$ Ahora escribe $$\begin{cases} x^{2}+y^{2} & =2\\ xy & =1 \end{cases}$$ Multiplicar la segunda ecuación por 2, sumar y restar a la primera obteniendo respectivamente $$\left(x+y\right)^{2}=4$$ $$\left(x-y\right)^{2}=0$$ Por lo tanto, $$x=y=\pm1$$ Finalmente $$\nabla G\left(1,1\right)=3\left(2\boldsymbol{i}+1\boldsymbol{j}\right)+4\boldsymbol{i}+3\boldsymbol{j}=10\boldsymbol{i}+6\boldsymbol{j}$$