Demostrar que una recta dada es tangente a una hipérbola

Question

La cuestión es: una línea $x \cos\theta + y\sin\theta = p$ está dada de tal manera que $a^2\cos^2\theta - b^2\sin^2\theta =p^2$ .

Tengo que demostrar que toca una hipérbola $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ . No veo cómo proceder. Pensé que podría proceder eliminando $p$ elevando al cuadrado la ecuación de la recta y equiparando ambas, pero no se me ocurre qué hacer a continuación. ¿Qué tengo que demostrar para probar que toca la hipérbola?

Answer 1

La tangente en $(x_1,y_1)$ a la hipérbola es \begin {align*} \frac {xx_1}{a^2} - \frac {yy_1}{b^2} = 1 \end {align*} Si esta es la línea dada, tenemos \begin {align*} \frac {x_1/a^2}{{} \cos \theta } = \frac {-y_1/b^2}{{} \sin \theta } = \frac {1}{p} \end {align*} Por lo tanto $x_1 = \frac{a^2\cos\theta}{p}, y_1 = -\frac{b^2\sin\theta}{p}$ . Como esto se encuentra en la curva, tenemos \begin {align*} a^2 \cos ^2 \theta - b^2 \sin ^2 \theta = p^2 \end {align*}

Answer 2

SUGERENCIA:

Sustituir $x$ con $\dfrac{p-y\sin\theta}{\cos\theta}$ en $$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$$ para formar una ecuación cuadrática en $y$

Cada valor de $y$ representa la ordenada de la intersección respectiva.

Para la tangencia, los dos valores de las ordenadas deben ser iguales, es decir, la ecuación cuadrática de $y$ deben tener raíces iguales.

¿Puedes llevarlo desde aquí?