Cómo demostrar que $\displaystyle{\cot z-\frac{1}{z}}$ está acotado en el círculo dado

Question

$$f(z)=\cot z - \frac{1}{z}=\frac{z \cos z - \sin z}{z ~ \sin z}$$ con postes en $z=n \pi$ con residuos $1$ en cada poste. También $f(z)$ tiene una singularidad extraíble en $z=0.$ Todo esto se pide para calcular y lo he hecho. Si $C_N$ es el círculo que encierra todos los polos con centro en el origen y radio $R_N,$ cómo puedo demostrar que $f$ está acotado en $C_N$ para un adecuado $R_N$ ?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Editar: Tenga en cuenta que

Answer 1

Elija $R_N = (\pi/2)(2N + 1)$ para que $C_N$ no se cruza con los polos. Tenemos $$\vert f(z) \vert \leq \vert \cot z \vert + \vert 1/z \vert.$$ El $1/z$ puede hacerse arbitrariamente pequeña eligiendo una parte lo suficientemente grande $R_N$ . Puede mostrar $\vert cot z \vert \leq \vert \coth y \vert$ , donde $y = \textrm{Im}(z)$ . Ahora bien, si $\vert y \vert > \vert y' \vert$ entonces $\vert \coth y \vert < \vert \coth y' \vert$ por lo que podemos acotar $\cot z$ en las partes de $C_N$ donde $\textrm{Im}(z) \geq y$ para algunos elegidos $y > 0$ . El problema es que $\vert \coth y \vert$ se acerca a $\infty$ como $y \to 0$ . Sin embargo, esto es fácil de eludir porque $\cot z$ es periódica. Basta con elegir un cuadrado cerrado centrado en $\pi/2$ que evita los polos $0$ y $\pi$ y luego tomar el máximo de $\vert \cot z \vert$ en esta plaza. Por periodicidad, este límite funcionará cerca de los puntos reales de $C_N$ para cualquier $N \geq 0$ .