Tengo muchos problemas para demostrar la siguiente afirmación: Si un grupo lineal $G$ tiene un subgrupo denso abeliano $H$ entonces $G$ es abeliano. Más concretamente, la noción de "subgrupo denso" me resulta confusa. Estaba tratando de comparar esta idea con algo como $\mathbb{Q}$ siendo denso en $\mathbb{R}$ pero ese ejemplo era demasiado trivial para ayudarme con la prueba que estoy tratando de completar. Se agradece cualquier ayuda.
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ManuelSchneid3r
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Los grupos lineales son ejemplos de grupos topológicos son grupos dotados de una topología tal que las operaciones de grupo (multiplicación e inversa) son continuas. Densidad en el contexto de los grupos topológicos significa exactamente lo mismo que en la topología general, $(\mathbb{Q}, +)$ es un subgrupo denso de $(\mathbb{R}, +)$ .
La idea es que, dado que ser abeliano se define a través de las operaciones de grupo, si se mantiene densamente debería mantenerse siempre. Esto se puede formalizar encontrando un función continua correspondiente a la "abelianidad": es decir, tomar $f(a, b)=aba^{-1}b^{-1}$ (el mapa del conmutador ). Entonces $f(a, b)=e$ si $ab=ba$ .
¿Y qué? Bueno, $f$ es continua ya que las operaciones de grupo son continuas (ejercicio), y por hipótesis es igual a $e$ en un conjunto denso. Pero si una función continua es constante en un conjunto denso, entonces es simplemente constante - esto es un hecho general de la topología. Así que $f(a, b)=e$ siempre, es decir, el grupo es abeliano.
Esta penúltima frase utiliza el supuesto adicional de que $\{e\}$ es cerrado; esto no es necesariamente cierto, pero lo es en todo grupo topológico "natural". En particular, todo grupo lineal tiene esta propiedad, así como todo grupo metrizable en general.
Nótese que lo único especial que hemos utilizado sobre la abelianidad es que está dada por un ecuación : a saber, $G$ es conmutativo si $ab=ba$ para cada $a, b\in G$ . Podemos reescribir dicha ecuación para obtener una expresión que siempre es $e$ si $G$ es abeliano, es decir $ab=ba\implies aba^{-1}b^{-1}=e$ y obtenemos la función $f$ de esta segunda ecuación. Este mismo proceso se muestra de forma más general:
Si una ecuación en el lenguaje de los grupos se satisface en un conjunto denso, entonces se satisface en todas partes.
Por ejemplo, si $a^2b^4a^6b^8=e$ para todos $a, b\in D$ para algunos densos $D\subseteq G$ entonces $a^2b^4a^6b^8=e$ para todos $a, b\in G$ .
Este falla para propiedades más complicadas que las ecuaciones - por ejemplo, considere el grupo $G=(\{q+z\pi: q\in\mathbb{Q}, z\in\mathbb{Z}\}, +)$ . $(\mathbb{Q}, +)$ es un subconjunto denso de $G$ y cada elemento de $\mathbb{Q}$ es incluso - es decir, para cada $a\in\mathbb{Q}$ Hay un poco de $b\in\mathbb{Q}$ tal que $a+a=b$ - pero $\pi$ ni siquiera está en $G$ (ya que ${\pi\over 2}$ no está en $G$ ). La cuestión es que "es par" es un enunciado más complicado que simplemente "conmuta" - implica una frase "existe", y resulta que los cuantificadores son importantes aquí.
Tsemo Aristide
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Supongo que los grupos son el grupo Lie, el mapa $f:G\times G\rightarrow G$ definido por $f(x,y)=xyx^{-1}y^{-1}$ es continuar. $f(A\times A)=Id_G$ Esto implica que $f^{-1}(Id_A)$ es un subconjunto cerrado que contiene $A\times A$ por lo que es $G\times G$ desde $A\times A$ es denso en $G\times G$ . Deducimos que $G$ es un grupo conmutativo.
