Si $G$ $H$ son grupos con presentaciones de $G=\langle X|R \rangle$$H=\langle Y| S \rangle$, luego de curso $G \times H$ presentación $\langle X,Y | xy=yx \ \forall x \in X \ \text{and} \ y \in Y, R,S \rangle$. Dadas dos presentaciones en grupo $G=\langle X|R \rangle$ $H=\langle Y| S \rangle$ y un homomorphism $\phi: H \rightarrow \operatorname{Aut}(G)$, lo que es una presentación para $G \rtimes H$? Hay una buena presentación, como en el producto directo de caso? Gracias!
Respuesta
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Deje $G = \langle X \mid R\rangle$$H = \langle Y \mid S\rangle$, y deje $\phi\colon H\to\mathrm{Aut}(G)$. A continuación, el semidirect producto $G\rtimes_\phi H$ tiene la siguiente presentación: $$ G\rtimes_\phi H \;=\; \langle X, Y \a mediados de R,\S,\, yxy^{-1}=\phi(x)(x)\text{ para todo }x\X\text{ y }y\Y\rangle $$ Tenga en cuenta que este se especializa en la presentación del producto directo en el caso de que $\phi$ es trivial.
Por ejemplo, supongamos $G = \langle x \mid x^n = 1\rangle$ ser un grupo cíclico de orden $n$, vamos a $H = \langle y \mid y^2=1\rangle$ ser un grupo cíclico de orden dos, y deje $\phi\colon H \to \mathrm{Aut}(G)$ ser el homomorphism definido por $\phi(y)(x) = x^{-1}$. A continuación, el semidirect producto $G\rtimes_\phi H$ es el diedro grupo de orden $2n$, con la presentación $$ G\rtimes_\phi H \;=\; \langle x,y\a mediados de x^n=1,y^2=1,yxy^{-1}=x^{-1}\rangle. $$
