¿Cómo convertir esta frase de primer orden en forma normal conjuntiva?

Question

Esta es una de mis tareas, pero parece ser tan complicado que realmente no sé por dónde empezar :(

$$ \exists x\;\forall y\;\forall z \Bigl({\rm person}(x)\land \bigl(({\rm likes}(x,y)\land y\ne z)\to \neg {\rm likes}(x,z)\bigr)\Bigr) $$

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Comenzamos con la eliminación de las implicaciones, tenga en cuenta que $\alpha \to \beta \equiv \neg \alpha \lor \beta$ Esto nos da $$ \exists x\;\forall y\;\forall z \Bigl({\rm person}(x)\land \bigl(\neg ({\rm likes}(x,y)\land y\ne z)\lor \neg {\rm likes}(x,z)\bigr)\Bigr) $$ Ahora movemos las negaciones a la posición más interna, utilizando $\neg(\alpha \land \beta) \equiv \neg \alpha \lor \neg \beta$ y $\neg(\alpha \lor \beta) \equiv \neg \alpha \land \neg \beta$ dando $$\exists x\;\forall y\;\forall z \Bigl({\rm person}(x)\land \bigl( \neg {\rm likes}(x,y)\lor y= z \lor \neg {\rm likes}(x,z)\bigr)\Bigr) $$ Como los cuantificadores ya están en sus posiciones más externas, ahora skolemizamos, es decir, sustituimos $\forall x_1\ldots \forall x_n\exists v. \phi(x_1, \ldots, x_n, v)$ por $\phi(x_1, \ldots, x_n, f(x_1, \ldots, x_n, v))$ por lo que aquí sustituimos el $x$ por un símbolo constante $p$ , dando $$\forall y\;\forall z \Bigl({\rm person}(p)\land \bigl( \neg {\rm likes}(p,y)\lor y= z \lor \neg {\rm likes}(p,z)\bigr)\Bigr) $$ Ahora dejamos los universales $${\rm person}(p)\land \bigl( \neg {\rm likes}(p,y)\lor y= z \lor \neg {\rm likes}(p,z)\bigr)$$ Como se trata de un CNF, hemos terminado.