Datos sobre la divisibilidad

Question

Sé que si $a\mid b$ y $a\mid c$ entonces $a\mid sb+tc$ para todos $s,t$ .

¿Es cierta esta línea de abajo? $$a\mid c\land\forall s,t:a\mid sb+tc\implies a\mid b$$

Answer 1

Desde $a\mid c$ , $a\mid tc$ para todos $t$ ya que $a\mid sb+tc$ podemos restar $tc$ y obtener $a\mid sb$ . Como esto es cierto para todos los $s$ es cierto para $s=1$ con lo cual tenemos $a\mid b$ .

Answer 2

Sospecho que la interpretación de tu propia pregunta no es la correcta. Ya que si se da que $a \mid sb + tc$ para todos los enteros $s$ y $t$ y, a continuación, elegir $s = 1, t = 0$ muestra que $a \mid b$ y la otra hipótesis que implica $c$ ni siquiera es necesario.

Sospecho que la interpretación correcta es la siguiente: suponga que sabe que para algunos $s$ y $t$ , ambos $$a \mid c \\ a \mid sb + tc.$$

¿Puede concluir que $a | b$ ?

La respuesta es no. Por ejemplo, elija $a = c = s = 2, t = 0, b = 1$ . Entonces tienes que $a \mid c$ porque $2 \mid 2$ y $a \mid sb + tc$ porque $2 \mid 2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 = 2$ pero es no el caso de que $a \mid b$ porque $2$ no divide $1$ .