¿Por qué este mapa define un $n$ -¿un colector de dimensiones?

Question

Dejemos que $0<\xi_1 <\xi_2<\ldots <\xi_n<1$ sea $n$ variables, $\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ y $\Gamma=\{\xi|0<\xi_1<\ldots <\xi_n<1\}$ .

Dejemos que $U(\cdot,\cdot)\colon\Gamma\times [0,1]\to\mathbb{R}$ sea una función para la que sabemos que $U(\xi,\cdot)$ es una función continua con una primera derivada continua a trozos.

Entonces, el mapa $\xi\to U(\xi,\cdot)$ define un $n$ -de las dimensiones de la colmena $W\subset H^1$ .

Creo que lo que se quiere decir es que $W=\{U(\xi,\cdot):\xi\in\Gamma\}\subset H^1$ es un $n$ -de las dimensiones. Pero no entiendo por qué .

Quizá alguien pueda darme una explicación.

Answer 1

Debe faltar alguna información adicional. Por ejemplo, si $U(\xi,\cdot)\equiv 0$ entonces cumple con sus suposiciones, pero $W=\{0\}$ es un punto único, por lo que no puede ser un $n$ -de las dimensiones.