Dejemos que $T^{n}$ denotan el $n$ toro* y $\pi_{i} : T^{n} \rightarrow S^{1}$ denotan el $i-th$ proyección. Denotemos el retroceso de la parte superior de (si no se toma la forma superior normalizada es decir $\int_{s^{1}} d\theta = 1$ , obtendrá algunos $2\pi$ factores) $\pi_{i}^{\ast}(d\theta) = \omega_{i}$ . Entonces cada $\omega_{i}\in H^{1}_{DR}(T^{n})$ y por el recuento de la dimensión y el hecho de que son linealmente independientes (como puede verse integrando en una componente "adecuada $S^{1}$ ) generan conjuntamente $H^{1}_{DR}(T^{n})$ .
Supongamos ahora los rangos de toda la cohomología de-Rham de $T^{n}$ son conocidos. Las cohomologías $H^{k}(T^{n})$ son generados por la cuña de $k-$ subconjuntos de $\omega_{i}$ . El hecho de que sean linealmente independientes (en cohomología) puede verse integrando sobre $k-$ ciclos consistentes en el componente respectivo $S^{1}$ factores. Entonces el recuento de la dimensión da el isomorfismo. (Hay una prueba más correcta mostrando la compatibilidad de los productos cuña y copa y utilizando la comparación de la cohomología singular/simplificada y la cohomología de-Rahm).
El inegral de cada una de estas cuñas es sólo un producto de los constituyentes $\omega_{i}$ en $(S^{1})_{i}$ .
Por lo tanto, el elemento base $\sum_{I \subset \{1,2,..n\}, |I| = k} (\wedge_{i \in I}\omega_{i})$ se integra en el ciclo k $\sum_{I \subset \{1,2,..n\}, |I| = k}\pm [\prod_{i \in I}(S^{1})_{i}]$ para darle los rangos. Los más-menos son importantes debido a la regla de los signos en los productos de la cuña.
*Torus según su pregunta. Demasiadas cosas se llaman toro en demasiados contextos diferentes.
