Perturbación de la independencia lineal

Question

Dado un conjunto linealmente independiente y ortonormal $\lbrace u_1,\ldots,u_n\rbrace \in \mathbb{R}^d$ . Existe $0<\varepsilon<1$ tal que $B(u_i,\varepsilon)\cap B(u_j,\varepsilon)= \emptyset$ para $i\neq j$ donde $1\leq i,j \leq n$ .

Considere $\{v_j \}$ tal que $\Vert v_j- u_j\Vert< \varepsilon$ para todos $1\leq j \leq n$ . Me pregunto si el conjunto $\lbrace v_1,\ldots,v_n\rbrace$ es linealmente independiente?

Mi progreso: Si $\sum_{j=1}^n \alpha_j v_j=0$ entonces $v_j=\sum_{k=1}^n \beta_k u_k$ por lo tanto $\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \alpha_j\beta_k u_k=0$ entonces se obtiene utilizando la independencia lineal $\sum_{j=1}^n \alpha_j=0$ .... (1)

También $\sum_{j=1}^n \alpha_j (v_j - u_j)=-\sum_{j=1}^n \alpha_j u_j$ entonces $\Vert \sum_{j=1}^n \alpha_j u_j\Vert<\varepsilon \sum_{j=1}^n |\alpha_j |$ .... (2)

Agradecería mucho cualquier sugerencia para completar la prueba

Answer 1

Su desigualdad $$\Big\Vert \sum_{j=1}^n \alpha_j u_j\Big\Vert<\varepsilon \sum_{j=1}^n |\alpha_j |\tag2$$ es realmente útil en este caso. Por ortogonalidad, el cuadrado del lado izquierdo es $\sum_{j=1}^n \alpha_j^2$ . El cuadrado del lado derecho puede estimarse mediante la desigualdad de Cauchy-Schwatz $$\Big(\varepsilon \sum_{j=1}^n |\alpha_j| \Big)^2 \le \varepsilon^2 n \sum_{j=1}^n \alpha_j^2$$ Por lo tanto, $1<\varepsilon^2n$ . En otras palabras, llegamos a una contradicción siempre que $\varepsilon\le 1/\sqrt{n}$ .

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Y esto es lo mejor que se puede conseguir. La suposición $B(u_i,\varepsilon)\cap B(u_j,\varepsilon)= \emptyset$ que permite $\varepsilon$ tan grande como $1/\sqrt{2}$ no es suficiente. Por ejemplo, en tres dimensiones podemos perturbar los vectores base estándar $$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$$ a $$(2/3,-1/3,-1/3), (-1/3, 2/3,-1/3), (-1/3,-1/3,2/3)$$ que son linealmente dependientes. Ninguno de los vectores se ha movido más de $1/\sqrt{3}$ . El ejemplo se generaliza a dimensiones superiores: basta con proyectar la base estándar sobre el hiperplano $x_1+\dots+x_n=0$ .