Prueba $\sum a_n^2$ converge.

Question

Supongamos que $\left(a_{n}\right)$ es una secuencia monótona de números reales no negativos que convergen a 0. Supongamos también que la serie $\sum\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$ es convergente. Demostrar que la serie $\sum a_{n}^{2}$ también es convergente. Demostrar que si se elimina la hipótesis de monotonicidad, la conclusión anterior no es cierta.

Si demostramos que $\sqrt{n}a_{n}\leq B$ para todo n para algún B , entonces tenemos $$\sum a_{n}^{2}=\sum\left(\sqrt{n}a_{n}\right)\left(\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}\right)\leq B\sum\left(\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}\right)<\infty.$$

Así que ahora quiero demostrar que existe tal $B$ . Lo que me hace pensar que esto debe sostenerse es que $\lim\frac{a_{n}}{\sqrt{n}}=0$ y por lo tanto $a_{n}$ se acerca a 0 más rápido que $\sqrt{n}$ se acerca $\infty$ (o, de forma equivalente, más rápido que $\frac{1}{\sqrt{n}}$ se acerca a 0). Pero, ¿cómo puedo mostrar esto? ¿Alguna idea?

Answer 1

Desde $\sum \frac{a_n}{\sqrt{n}}$ es convergente, existe $B$ tal que para todo $n \ge 1$ ,

$$\sum_{k = 1}^n \frac{a_k}{\sqrt{k}} \le B$$

Ahora, porque $(a_k)$ es decreciente, tenemos

$$B \ge \sum_{k = 1}^n \frac{a_k}{\sqrt{k}} \ge a_n \sum_{k = 1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \ge a_n \sum_{k = 1}^n \frac{1}{\sqrt{n}} = a_n \sqrt{n}$$

Para un contraejemplo en el caso $a_n$ no es monótona, considere por ejemplo $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ . EDITAR : para un ejemplo no negativo, tome $(a_n)$ definido por $a_{2^k} = \frac{1}{\sqrt{k}}$ y $a_n = 0$ si $n$ no es un poder de $2$