Integrando secante al cuadrado por tangente

Question

Integrar la función.

$$ \int \sec^2 x \tan x dx $$

Estoy intentando encontrar una sustitución adecuada, pero no he encontrado nada adecuado.

Answer 1

Sabemos que, $$ d(\tan(x)) = \sec^2(x).dx$$ Sustituyendo el LHS de la ecuación anterior en lugar del RHS en la expresión principal da: $$ \int \tan x. d( \tan x )$$ $$ \frac{\tan^2(x)}{2} + Constante$$

Answer 2

Este es un buen ejemplo. Espero que estés familiarizado con la integración por sustitución.

Ahora caso 1:

pon $ \tan x=t$ entonces, $ dt=\sec^2xdx $ Sustituyendo, obtenemos

$I= \int tdt\Rightarrow \frac {t^2}{2}+c_1 $

es decir, I= $ \frac{\tan^2x}{2} + c_1 $

Caso 2: pon $ \sec x=u $

$du=\sec x\tan x \ dx$

así, $I= \int udu => I=\frac {u^2}{2}+c_2$

dado que ambas integrales son iguales,

$\frac{\tan^2x}{2}+c_1=\frac {\sec^2x}{2}+c_2 $

lo cual implica $c_1 -c_2 =\frac {1}{2} $.

Por lo tanto, entendemos que si una función tiene más de una integral, las integrales difieren por una constante.

Answer 3

Sustituyendo $u=\tan x$, entonces obtendrás $du=\sec^2(x) dx

$$\int \sec^2(x) \cdot \tan x dx = \int u \; du = \frac{u^2}{2}+c \Rightarrow \frac{\tan^2(x)}{2}+c$$

Ahora usamos $\sec^2(x)=1+\tan^2(x)$ y finalmente

$$\int \sec^2x \cdot \tan x dx = \frac{\sec^2(x)}{2}+c$$