Encontrar la FCD de una PDF a trozos

Question

Así que para mi clase de estadística que estoy tomando este semestre hemos estado trabajando en variables aleatorias continuas y tenemos una pregunta que el profesor no cubrió en absoluto ni sus notas, y tiene que ver con funciones a trozos.

Me dan la PDF a trozos f(x) = x + 1 para -1 < x < 0 y -x + 1 para 0 < x < 1.

Sé que para pasar de una FDP a una FCD hay que integrar la función, lo que hice para ambas dando x^2/2 + x y -x^2/2 + x. Esta pregunta dada en el libro tiene la respuesta dada en la parte de atrás del libro y tiene un + 1/2 al final de ambas funciones FCD.

Mi pregunta es para que entienda lo que pasa aquí, de dónde sale ese 1/2 en esta pregunta porque el profesor nunca repasó problemas que implicaran funciones a trozos sólo funciones simples, y además el libro tampoco menciona nunca funciones a trozos.

Answer 1

En general, una integral indefinida debe tener un " $+C$ ". En realidad se quiere la función de distribución acumulativa $F(x)$ - la probabilidad de ver el valor $x$ o por debajo - para ser la integral definida de la función de densidad de $-\infty$ a $x$ .

Usted quiere $F(-\infty)=0$ y $F(\infty)=1$ en general.

Dado que en su ejemplo la densidad es cero por debajo de $x=-1$ y superiores $x=1$ , usted quiere $F(-1)=0$ y $F(1)=1$ en este caso concreto. Una variable aleatoria continua tiene una función de distribución acumulativa continua, y en particular $F(x)$ tiene que ser continua donde las densidades a trozos se encuentran, en este caso particular en $x=0$ . Todo ello te dará las constantes pertinentes.

Para $-1 \le x \le 0$ , usted quiere $F(x)=\displaystyle \int_{y=-1}^x (y+1)\,dy$ .

Para $0 \lt x \le 1$ , usted quiere $F(x)=\displaystyle \int_{y=-1}^0 (y+1)\,dy +\int_{y=0}^x (-y+1)\,dy$ .