Si
$$f_n:X\rightarrow [0,\infty]$$
es una secuencia de funciones medibles y sabemos que $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_X f_n \,d\mu=0,\qquad \qquad \tag{$\star$}$$ entonces podemos concluir que para cualquier conjunto medible $Y\subset X$ tenemos $$\lim_{n\rightarrow \infty }\int_Y f_n \,d\mu=0$$ porque $0\leq\int_Y f_n \,d\mu\leq\int_X f_n \,d\mu$ ?
Además, ¿el límite $(\star)$ implican que $\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=0$ ¿en casi todas partes?
El argumento que das es correcto: si una secuencia de números no negativos converge a $0$ y otra secuencia se interpone entre ella y $0$ , entonces esa otra secuencia también se aproxima a $0$ . Y esa otra secuencia está, efectivamente, encajada entre $0$ y la secuencia que por hipótesis va a $0$ .
Este es un ejemplo de una secuencia de funciones de valor no negativo $f_n$ en $(0.1,\ 1)$ para lo cual
$$ \lim_{n\to\infty}\int_{(0.1,\ 1)} f_n\,d\mu = 0\text{ but } \lim_{n\to\infty} f_n(x)\text{ fails to exist at every }x\in(0.1,\ 1). $$ $$ f_{2413}(x) = \begin{cases} 1 & \text{if }\frac{2413}{10000} \le x < \frac{2413+1}{10000}, \\[6pt] 0 & \text{otherwise}, \end{cases} $$ y de forma similar para todos los demás índices $n$ (por ejemplo, si el índice es $46$ entonces es la función indicadora del intervalo $[46/100,\ 47/100)$ etc.).
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Ni siquiera sé por qué haces la primera pregunta. En cuanto a la segunda, puede que le guste $\chi_{[0,1]},\chi_{[0,1/2]},\chi_{[1/2,1]}, \chi_{[0,1/3]},\chi_{[1/3,2/3]},\chi_{[2/3,1]}, \dots $
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Gracias @zhw, en mi tarea, el profesor añadió el límite puntual como una suposición. Pero no veo por qué falla el argumento que presenté. Por eso, hice la segunda pregunta porque no estaba seguro.