Conjuntos abiertos y cerrados en el espacio métrico con la métrica habitual

Question

Dejemos que $ \left({{X}{\mathrm{,}}\mathit{\rho}}\right) $ sea un espacio métrico . Y la métrica es la habitual sobre X. donde $ \hspace{0.33em}{X}\mathrm{{=}}\left[{{0}{\mathrm{,}}{3}{\mathrm{)}}\mathrm{\cup}\left[{{4}{\mathrm{,}}\left.{5}\right]}\right.}\right.\mathrm{\cup}{\mathrm{(}}{6}{\mathrm{,}}{7}{\mathrm{)}}\mathrm{\cup}\left\{{8}\right\} $

Entonces demuestre si los siguientes conjuntos son abiertos o cerrados .

a)(6,7)

b)(1,2)

C) $ \left\{{8}\right\} $

D) $ \left[{4\mathrm{,}5\mathrm{)}}\right. $ E) $ \left[{0,3)}\right. $

He intentado demostrarlo por medio del complemento, pero estoy un poco confundido porque el conjunto de un solo punto se considera un conjunto cerrado en el ejemplo anterior, pero su complemento no es abierto. Gracias por adelantado.

Answer 1

Para cualquier punto $x \in (6,7),$ la pelota $B_{1}(x)$ en $X$ es sólo $B_{1}(x)=(6,7),$ por lo que su contenido es totalmente $(6,7)$ y por lo tanto $(6,7)$ está abierto. Además, el cierre de $(6,7)$ en $\mathbb{R}$ sería $[6,7],$ desde $6,7 \not\in X$ entonces su cierre en $X$ es $(6,7),$ así que $(6,7)$ es igual a su cierre y su cerrado en $X$ .

$(1,2)$ está abierto en $X$ por razones similares, ya que está abierto en $\mathbb{R}$ . No está cerrado desde $1$ y $2$ son puntos límite de $(1,2)$ que están en $X$ y no en $(1,2).$

$\{ 8\}$ es finito por lo que es cerrado. También es abierto ya que $B_1(8)=\{ 8 \}$ en $X.$

Por razones similares se puede demostrar que $[4,5)$ está abierto pero no cerrado en $X$ y $[0,3)$ está abierto y cerrado en $X,$ así que te lo dejo a ti.