Sobre el grupo de automorfismos $C_{2}\times D_{8}$

Question

Dejemos que $D_{8}$ sea un grupo diédrico de orden 8 y $C_{2}$ sea un grupo cíclico de orden $2$ . A continuación, determine el número de todos los automorfismos de $C_{2}\times D_{8}$ . ¿Se puede determinar el grupo de automorfismos de $C_{2}\times D_{8}$ ?

En el caso general sabemos que $\lvert\operatorname{Aut}(H\times K)\rvert\geqslant\lvert \operatorname{Aut}(H)\rvert\times\lvert \operatorname{Aut}(K)\rvert$ para grupos finitos $H$ y $K$ . También sabemos que si $(\lvert H\rvert, \lvert K\rvert)=1$ entonces $\lvert\operatorname{Aut}(H\times K)\rvert=\lvert \operatorname{Aut}(H)\rvert\times\lvert \operatorname{Aut}(K)\rvert$ . Si $(\lvert H\rvert, \lvert K\rvert)\neq 1$ entonces podemos decir que $\lvert\operatorname{Aut}(H\times K)\rvert>\lvert \operatorname{Aut}(H)\rvert\times\lvert \operatorname{Aut}(K)\rvert$ ?

Gracias

Answer 1

Esta no es una respuesta completa.

Ahora $C_2 = \langle \alpha \rangle$ y $D_8 = \langle x , y\rangle$ donde $\alpha$ y $x$ tener orden $2$ y $y$ tiene orden $4$ . Dejemos que $G = C_2 \times D_8$ . Para mayor claridad, denotaré $(\alpha, 1)$ por $\alpha$ , $(1,x)$ por $x$ y $(1,y)$ por $y$ aquí. Porque $G$ es generado por $\alpha, x$ y $y$ cualquier automorfismo $\phi$ de $G$ está completamente determinado por $\phi(\alpha)$ , $\phi(x)$ y $\phi(y)$ .

No es difícil demostrar que $y^2$ es fijado por cada automorfismo de $G$ . Por lo tanto, ya que $\alpha$ es central de orden $2$ Hay $2$ posibles opciones para $\phi(\alpha)$ . El elemento $x$ es no central de orden $2$ , por lo que hay $8$ posibles opciones para $\phi(x)$ . El elemento $y$ tiene orden $4$ por lo que hay $4$ posibles opciones para $\phi(y)$ .

Así, el grupo $G$ tiene como máximo $2 \times 8 \times 4 = 64$ automorfismos. Según GAP, hay exactamente $64$ automorfismos, por lo que resulta que estos son todos los automorfismos de $G$ . No he encontrado ninguna forma agradable de mostrar que cada una de las posibles opciones de $\phi(\alpha), \phi(x)$ y $\phi(y)$ determinar un automorfismo.