Toda la literatura que he visto sobre las categorías de módulos sobre categorías monoidales ha sido en la categoría rígida $k$ -lineal semisimple, más o menos en el espíritu del artículo de Ostrik, Categorías de módulos, álgebras de Hopf débiles e invariantes modulares . Sin embargo, la definición básica de categoría de módulo tiene mucho sentido en general, por lo que me pregunto si se ha realizado algún trabajo en entornos más generales.
En particular, me interesa el siguiente tipo de pregunta. Sea $\mathcal{C}$ sea una categoría monoidal trenzada (tal vez, en última instancia, con algunos supuestos añadidos, como la rigidez). Cualquier izquierda $\mathcal{C}$ -la categoría del módulo es automáticamente una $(\mathcal{C}, \mathcal{C})$ -categoría de bimódulos a través del trenzado. Para las categorías de bimódulos debe haber una buena noción de "tensores sobre $\mathcal{C}$ que convierte la categoría 2 de los bimódulos (y por tanto la categoría 2 de los módulos de izquierda) en una categoría 2 monoidal. Si extraemos los objetos invertibles y los morfismos en todos los niveles, deberíamos obtener una especie de 3-grupo de Brauer para $\mathcal{C}$ . (En el entorno de la categoría de fusión, este objeto se considera en el reciente preprint de Etingof, Nikshych y Ostrik, Categorías de fusión y teoría de la homotopía .)
Me gustaría saber cómo se relaciona esto con el grupo 3 de Brauer "interno" de $\mathcal{C}$ cuyos objetos son álgebras de Azumaya en $\mathcal{C}$ Los morfismos son bimódulos invertibles, y los 2-morfismos son morfismos bimodulares invertibles. En el entorno de la categoría de fusión, la conexión viene dada por el teorema principal del artículo de Ostrik, que afirma que cualquier categoría de módulos indecomponibles semisimple es equivalente a la categoría de módulos sobre alguna álgebra en $\mathcal{C}$ . (Creo que esto implica que las dos nociones de grupo 3 de Brauer son equivalentes en el entorno de la categoría de fusión). ¿Se conoce algún resultado en esta línea con mayor generalidad? Ni siquiera tengo claro que la categoría de módulos de la izquierda sobre un álgebra de Azumaya en $\mathcal{C}$ es invertible, o incluso lo que es el producto tensorial de dos categorías de módulos.
