Máximos de la función $\left \vert \int_{-1}^1 e^{i(ax+bx^2)}dx \right \vert$

Question

Busco los extremos de la función

$$g(a,b):=\left \vert \int_{-1}^1 e^{i(ax+bx^2)}dx \right \vert$$ donde $a,b >0$ son parámetros reales. Ya he trazado esta función y he tenido la impresión de que periódicamente hay extremos locales a lo largo de alguna curva concreta, pero era difícil ser más preciso. Mi pregunta es: ¿Podemos decir algo sobre los extremos de la propia función analíticamente?

En particular, me interesa la distribución asintótica de los máximos (si no podemos cogerlos analíticamente) para $a,b>0$ que puedes ver en el gráfico de arriba. Al parecer, comienzan con "más o menos" $a = b$ pero, ¿cómo se distribuyen para los grandes $a,b$ ? También parecen tener cierta periodicidad, ¿se puede decir algo al respecto?

Quizás también quiera ver las nuevas representaciones que se dan en los comentarios :-)

Si hay algo que no está claro, por favor, hágamelo saber.

AVISO: Cualquier cosa (también la periodicidad, etc.) que puedas decir sobre los extremos es probablemente útil, así que quiero deliberadamente que esta pregunta sea algo amplia.

Answer 1

Aquí es una parcela de $|f(a,b)|$ donde $f(a,b)=\int_{-1}^{1}e^{i(ax+bx^2)}\,dx$ :

Además, tenemos (podemos suponer que $a,b\geq 0$ desde $f$ es una función par con respecto a sus dos argumentos): $$|f(a,b)|=2\left|\int_{0}^{1+a/(2b)}e^{ibx^2}\,dx\right|=\frac{1}{\sqrt{b}}\left|\int_{0}^{a+b+\frac{a^2}{4b}}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{-iu}\,du\right|.$$

Asumiendo $c\triangleq a+b+\frac{a^2}{4b}\geq\pi$ podemos aprovechar la periodicidad de la función exponencial compleja, $e^{i(u+\pi)}=-e^{iu}$ para tener: $$\begin{eqnarray*}2\int_{0}^{c}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{iu}\,du&=&\int_{0}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{iu}\,du+\int_{\pi}^{c}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{iu}\,du\\&+&\int_{0}^{c-\pi}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{iu}\,du+\int_{c-\pi}^{\pi}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{iu}\,du\end{eqnarray*}$$ donde los dos términos del medio en el RHS casi se cancelan, dejando: $$\left|\int_{0}^{c}\frac{1}{\sqrt{u}}e^{iu}\,du\right|\leq K_1+\frac{K_2}{\sqrt{c-\pi}}.$$ Por lo tanto, se espera que $f(a,b)$ , lo suficientemente lejos del origen, va a cero como:

$$|f(a,b)|\ll \frac{1}{|b+a/2|}.$$