Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios métricos. Definir la distancia entre funciones $f, g$ de $X$ a $Y$ como $$d(f, g) = \sup_{x \in X} \frac{d(f(x), g(x))}{1+d(f(x), g(x))}$$
¿Es cierto que si $f_n:X \to Y$ es uniformemente continua para cada $n \in \mathbb{N}$ y $(f_n) \rightrightarrows f$ ( es decir converge uniformemente) entonces $f$ es uniformemente continua?
Afirmo que es cierto, y aquí está mi prueba. Dejemos que $\epsilon > 0$ se le dará. Dado que $(f_n) \rightrightarrows f$ Hay un poco de $N$ tal que $d(f_N(x), f(x)) < \epsilon/3$ para todos $x \in X$ . Elija $\delta$ tal que $d(f_N(x_1), f_N(x_2)) < \epsilon/3$ siempre que $d(x_1, x_2) < \delta$ . Entonces, siempre que $d(x_1, x_2) < \delta$ tenemos $$d(f(x_1), f(x_2)) \leq d(f(x_1), f_N(x_1)) + d(f_N(x_1), f_N(x_2)) + d(f_N(x_2), f(x_2)) < \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3 = \epsilon$$ Por lo tanto, $f$ es uniformemente continua.
Este problema aparece en la obra de Pugh Análisis matemático real . El problema tiene dos partes. En la parte (a), el problema se plantea para funciones de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ y luego la parte (b) dice: "¿Qué sucede para las funciones de un espacio métrico a otro en lugar de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ ?"
Ahora estoy confundido porque el problema tiene dos partes y la segunda parte no parece ser diferente de manera sustancial de la primera. Esto me hace pensar que mi prueba debe ser defectuosa, o que hay una prueba realmente trivial para $X = Y = \mathbb{R}$ ( es decir más fácil que éste) que no funciona para los espacios métricos generales. Si no, ¿por qué la pregunta tiene dos partes como esa?
