Demostrar que $a ≤ x ≤ b ⇒ |x| ≤ |a|+|b|$

Question

¿Puede ayudarme con esta prueba? $$a ≤ x ≤ b ⇒ |x| ≤ |a|+|b|$$ ? Estoy literalmente atascado durante horas.

Esto es lo que he pensado, pero no sé si cuenta como prueba. En primer lugar, si a ≤ x entonces $x ≤ -a$ así que $a ≤ x ≤ -a$ si $x ≤ -a$ entonces $|x| ≤ |-a| = |a|$ Ahora miramos a b: si x ≤ b entonces $-b ≤ x ≤ b$ así que $$|-b| = |b| ≤ |x|$$ O $$|x| ≤ |-b| = |b|$$ vamos a elegir la "peor" opción que es |b| ≤ |x| así que $$|b| ≤ |x| ≤ |a| ⇒ |x| ≤ |a| - |b| ≤ |a| + |b| ⇒ |x| ≤ |a| +|b|$$

¿Es correcto? Por favor, muéstrame otras formas de demostrarlo.

Answer 1

Sugerencia

$x$ no puede estar más lejos de $0$ que ambos $a$ y $b$ .

Considera que $x$ debe tener el mismo signo que al menos uno de $a,b$ .