Densidad del conjunto de números que son "buenos aproximadores" de un real dado en el sentido del teorema de aproximación de Dirichlet

Question

Dejemos que $\mathbb{N}$ sea el conjunto de enteros positivos. Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{N}$ dejamos que el Densidad (superior) de $A$ se define por $$\mu^+(A) = \lim\sup_{n\to\infty}\frac{|A\cap\{1,\ldots,n\}|}{n}.$$

Si $\alpha\in\mathbb{R}$ decimos que $q\in\mathbb{N}$ es bueno para aproximar $\alpha$ si hay $p\in\mathbb{Z}$ tal que $$|\alpha - \frac{p}{q}|< \frac{1}{q^2},$$

y denotar el conjunto de esos enteros positivos por $G_\alpha$ . El teorema de aproximación de Dirichlet afirma que $G_\alpha$ es infinito para cualquier $\alpha\in\mathbb{R}$ .

Pregunta. Dado $\delta\in[0,1]$ ¿hay $\alpha\in\mathbb{R}$ tal que $\mu^+(G_\alpha) = \delta$ ?

Answer 1

Si $\alpha$ es irracional, entonces la secuencia $\alpha,2\alpha,\ldots$ está equidistribuido módulo 1 (teorema de Weyl). Por lo tanto, la desigualdad $|q\alpha-p|<1/q$ se mantiene para $q$ de la densidad $0$ . Si $\alpha=a/b$ ( $a,b$ son coprimos) es racional, entonces la densidad de sus números es igual a $1/b$ .