Estabilidad de puntos fijos de orden superior para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias

Question

En el libro de Strogatz, No Lineal Dynamics and Chaos (1994), el autor discute ejemplos de puntos fijos de orden superior para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias en coordenadas polares:

1. $\dot{r}=ar^3, \dot{\theta}=1$, $a\ne0$
2. $\dot{r}=-r, \dot{\theta}=1/\ln(r)$

En los casos anteriores, los sistemas linealizados muestran un punto fijo no aislado en el origen. Sin embargo, los sistemas no lineales son espirales en el origen. ¿Existe un método analítico (no gráfico) para deducir este resultado?

Answer 1

Puedes resolver estos ejemplos de forma explícita. En el primer sistema, las ecuaciones para $\dot{r}$ y $\dot{\theta}$ están desacopladas, por lo que puedes resolver las ecuaciones individualmente. En la segunda ecuación, puedes resolver primero $\dot{r} = -r$, y luego sustituir el resultado en la segunda ecuación para obtener una función explícita para $\dot{\theta}$, la cual puedes integrar en $t$ para obtener $\theta(t)$. Una vez que tengas las soluciones explícitas deberías ser capaz de deducir el comportamiento en espiral.