¿Es posible hacer teoría de intersecciones en la categoría derivada de un esquema?

Question

Digamos que nos dan un esquema suave $X$ en $\mathbb{C}$ ¿es posible hacer teoría de intersección en la categoría derivada (acotada) de las láminas coherentes?

Quiero saber si hay una forma de extender el pensamiento ingenuo de que para dos subesquemas $V$ y $Z$ de $X$ , $\mathcal{O}_V \otimes^L \mathcal{O}_Z$ es la "intersección" de $V$ y $Z$ . Las guías de referencia también son bienvenidas.

Answer 1

Esto es ciertamente posible - de hecho, es esencialmente el enfoque original de Grothendieck para definir el producto de intersección en los grupos de Chow (racionales) de los esquemas regulares. Grothendieck muestra (véase estos bonitas notas de Gillet) que hay un isomorfismo graduado $$\bigoplus_k CH^k(X)_\mathbb{Q}\to Gr^*_{\gamma} K_0(X)$$ donde $\gamma$ es una determinada filtración sobre $K_0(X)$ este mapa se obtiene mediante una especie de carácter de Chern. (Como señala Leo Alonso, esto puede encontrarse en SGA 6).

¿Cómo entra la categoría derivada? Bueno, en primer lugar, se puede recuperar $K_0(X)$ de la categoría derivada de los complejos (acotados) de las láminas coherentes sobre $X$ tomando el grupo abeliano libre sobre los objetos modulo la relación que $[X]+[Z]=[Y]$ si $$X\to Y\to Z\to \Sigma X$$ es un triángulo distinguido. No es muy difícil ver que esto es lo habitual $K_0(X)$ (véase, por ejemplo, 3.1.4 en estas notas de Schlichting ). El producto en $K_0(X)$ viene dado precisamente por $[F]\cdot [G]=[F\otimes^L G]$ .

Combinando estos dos resultados, realizamos exactamente su sueño de hacer teoría de intersecciones (en el sentido habitual) a través de la categoría derivada. (Por supuesto, para las aplicaciones reales, hay que comprobar que este producto sobre $CH^k(X)_\mathbb{Q}$ está de acuerdo con una definición más geométrica, por ejemplo, a través de la deformación del cono normal como en Fulton).