Inclusión de conjuntos - prueba

Question

Dejemos que $K_s := \{(x,y) \in R^2: x^2 + (y-s)^2 \le s \}$ para $s \ge 0$ . Prueba, que:

$\{(x,y) \in R^2: y \ge x^2 \} \subset \bigcup_{s \in N}K_s \subset \bigcup_{s\in(0,\infty)}K_s=\{(x,y): y\ge x^2 -\frac{1}{4}\}$

Sé perfectamente cómo son todos los conjuntos, pero me cuesta un poco nombrarlos en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Podría poner $y =x^2$ en el $x^2 + (y-s)^2 \le s$ y comprobar si siempre hay 4 raíces, pero supongo que no es la mejor manera de tratar este problema. Y no funcionará para las sucesivas inclusiones.

Answer 1

Vamos a reformular las tres cosas que tienes que demostrar.

Tarea nº 1 : Prueba $$ \{(x,y) \in R^2\colon y \ge x^2 \} \subset \bigcup_{s \in N}K_s. $$ En otras palabras, demostrar $$ \text{If } (x,y)\in \{(x,y) \in R^2\colon y \ge x^2 \} \text{, then there exists $ s \in N $ such that } (x,y)\in K_s. $$ En otras palabras, demostrar $$ \text{If } y \ge x^2 \text{, then there exists $ s \in N $ such that } x^2+(y-s)^2 \le s. $$

Tarea nº 2 : Prueba $$ \bigcup_{s \in N}K_s \subset \bigcup_{s\in(0,\infty)}K_s. $$ En otras palabras, demostrar $$ \text{If there exists $ s \in N $ such that } (x,y)\in K_s \text{, then there exists $ s \in (0, \infty ) $ such that } (x,y)\in K_s. $$

Tarea nº 3 : Prueba $$ \bigcup_{s\in(0,\infty)}K_s=\{(x,y)\colon y\ge x^2 -\tfrac{1}{4}\}. $$ En otras palabras, demostrar $$ \text{There exists $ s \in (0, \infty ) $ such that } (x,y)\in K_s \text{ if and only if } x\in \{(x,y)\colon y\ge x^2 -\tfrac{1}{4}\}. $$ En otras palabras, demostrar $$ \text{There exists $ s \in (0, \infty ) $ such that } x^2+(y-s)^2 \le s \text{ if and only if } y\ge x^2 -\tfrac{1}{4}. $$

Espero que estas reformulaciones te ayuden a conectar los enunciados de la teoría de conjuntos con la comprensión algebraica que parece que ya tienes.