Sobreestimación de $|\oint_{|z|=R} f(z) \mathrm{d}z|$ con $f(z)=\frac{z^a}{z^2+1}$ , $0<|a|<1\mathrm{with} \;a \in \mathbb R$

Question

Cómo puedo sobrestimar, $|\oint_{|z|=R} f(z) \mathrm{d}z |$ con $f(z)=\frac{z^a}{z^2+1}$ , $0<|a|<1 \; \mathrm{with} \;a \in \mathbb R$ ?

He probado esto: $|\oint_{|z|=R} f(z) \mathrm{d}z | <= \mathrm{length \;curve \times maximum\; modulus}$ = $2\pi R\times M $ .

Por desgracia, no sé cómo encontrar $M$ .

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Si $\left|z\right|=R$ entonces, como $a$ es un número real :

$$\left|\dfrac{z^a}{z^2+1}\right|=\dfrac{\left|z^a\right|}{\left|z^2+1\right|}=\dfrac{R^a}{\left|z^2+1\right|}$$

Ahora, siguiendo la indicación de Evan, para todos $z\in\mathbb C$ :

$$\left|z^2+1\right|\geqslant\left|\left|z^2\right|-1\right|\geqslant\left|z^2\right|-1=\left|z\right|^2-1$$

Para $\left|z\right|=R$ , se obtiene :

$$\left|z^2+1\right|\geqslant R^2-1$$

Si $R>1$ y $\left|z\right|=R$ se pueden invertir ambos lados, invirtiendo la desigualdad:

$$\dfrac 1{\left|z^2+1\right|}\leqslant \dfrac 1{R^2-1}$$

A partir de ahí, puedes encontrar fácilmente tu $M$ .