por qué no hay polinomios $p,q$ tal que $\sqrt{x^2-4}=\frac{p(x)}{q(x)}$

Question

demostrar que

no hay polinomios $p,q$ tal que $$\sqrt{x^2-4}=\dfrac{p(x)}{q(x)}$$

allí un libro dice que está claro, porque si tales polinomios existieran, entonces cada cero de $x^2-4$ debe tener una multiplicidad uniforme? No puedo entender esto, ¿puede explicar los detalles?

Answer 1

Si $\sqrt{x^2-4}=\frac{p(x)}{q(x)}$ elevando al cuadrado obtenemos $x^2-4=\frac{p^2(x)}{q^2(x)}$ . Ahora descomponiendo el LHS se tiene $x^2-4=(x+2)(x-2)$ es decir, todas y cada una de las raíces son $\pm2$ por lo que son raíces simples (¿está claro?). Entonces $p^2(x)$ es de nuevo un polinomio, que debe desaparecer en $\pm2$ pero en este caso las raíces son de orden $\ge2$ y esto es imposible.